线性代数---第二章 矩阵与向量 2.3 向量组的线性相关性.pdfVIP

第二章 矩阵与向量 §2.3 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 二、线性相关性的判定 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组 五、向量空间的基与向量的坐标 六、小结 第二章 矩阵与向量 一、线性相关与线性无关的概念 在向量线性相关的基础上,本节来讨论向量之间的关系. 定义2.3.1 对于向量 , ,…,  和，若存在m个数 1 2 m  , ,… , ，使得： 1 2 m =   +   + …+   1 1 2 2 m m 则称是, ,…, 的线性组合， , ,… , 称为组 1 2 m 1 2 m 合系数,或称向量能用向量组 , ,…, 线性表示. 1 2 m 显然，零向量是任何一组向量的线性组合. 第二章 矩阵与向量 例1 设n维向量  (1,0,,0) 1  (0,1,,0) 2   (0,0,,1) n  (a , a ,, a )是任意一个n维向量，由于 1 2 n  a  a  a  1 1 2 2 n n 所以是 , , , 的线性组合. 1 2 n 通常称 , , , 为n维单位坐标向量组. 1 2 n 同维数的向量所组成的集合称为向量组. 第二章 矩阵与向量 例2 证明向量 (0,4,2)是向量 (1,2,3)， 1  (2,3,1)， (3,1,2)的线性组合，并将 2 3 用 , , 线性表示. 1 2 3 解：先假定     ，即 1 1 2 2 3 3 (0,4,2)  (1,2,3)  (2,3,1)  (3,1,2) 1 2 3 ( 2 3 ,2 3  ,3  2 ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 因此  2 3 0,  1 2 3