线性代数知识点总复习+习题课9.ppt

一、惯性定理 三、正(负)定二次型的判别 四、小结 　　测试题 测试题答案 　　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 　　下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质． 第三节 正定二次型与正定矩阵 称为 且标准形中正系数个数 负惯性指数， 二、正(负)定二次型的概念 为正定二次型 为负定二次型 例如 为不定二次型 证明 充分性： 故 必要性： 故 推论　对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． 推论　对称矩阵 为负定的充分必要条件是： 的特征值全为负． 例1 定理3 充分性 必要性 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理4 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的各阶主子式为正，即 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 正定矩阵具有以下一些简单性质 例2 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的. 例3 判别二次型 是否正定. 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法. 故此二次型为正定二次型. 即知A是正定矩阵， 例4 判别二次型 的正定性. 解 例5（矩阵正定的必要条件） 2.　正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法. 　　1.　正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系． 　　3.　根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导． 习题课 证明 解 解 解 方法一 方法二 解 一、填空题(每小题4分，共32分)．