线性代数第1章第3节行列式性质.ppt

函数与极限 第一章 行列式 第三节 行列式的性质 小结 行列式的性质 利用行列式的性质计算行列式 例：计算行列式 解： 例：计算行列式 解： D 例：计算行列式 解一： 原式 原式 例：计算行列式 解二： 例：计算 n 阶行列式 解： 例：计算n阶行列式 解一： 解法二： 例：计算n阶行列式 解： 例：计算行列式 解： 例：计算行列式 解： 原式 * 一、行列式的性质 二、利用行列式的性质计算行列式 引 言 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题．n 阶行列式一共有 n! 项，计算它就需要做 n!×(n-1) 个乘法．当n 较大时，n! 是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事． 如对于一个18阶行列式，假定计算作一次乘法运算的时间需要 10-6 秒，即百万分之一秒，则利用行列式的定义直接计算 18 阶行列式的值需要的时间（以每天工作8小时计）竞多达200年！ 因此有必要进一步讨论行列式的性质．利用这些性质可以化简行列式的计算． 一、行列式的性质 将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为DT或D′．即如果 则 证明： 则 由行列式定义 说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然． 性质1： 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT． 例： 性质2： 互换行列式的两行（列），行列式的值变号． 证明： 设 交换s、t 两行，得 s行 t行 由行列式定义可知，D中任一项可以写成 因为 （2） （1） 显然这是D1 中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且 （2）式右端的n个元素是按它们在D1 中所处的行标为自然顺序 排好的．因此 是 中的一项． （3） 因为，排列 与排列 的 奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明 了D的任一项的反号是D1 中的项，同样可以证明 D1中的 任一项的反号也是D中的项． 因此，D＝－D1 记法 行列式的第s行： 行列式的第s列： 交换s、t两行： 交换s、t两列： 推论： 如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 ． 证明： 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D＝0 性质3： 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素， 等于用数 k 乘此行列式． 推论： 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面． 记法 第s 行乘以k： 第s 列乘以k: 推论： 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列 式等于0 ． 性质4： ＋ 即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样． ＝ 例：计算 分析： 注意，一般说来 因为 例：设abcd =1， 计算行列式 解： 性质5： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变． 记法 数k乘第 t 行加到第 s 行上： 证明： 作 得 行列式的性质在行列式的理论研究与行列式的计算上都有重要作用，要注意正确使用行列式的性质． (1)每次交换行列式的两行（列），行列式都要变号; (2)对n阶行列式有| kaij | = kn | aij | ； (3)正确使用行列式性质5，将行列式第j行（列）乘k，加于第i行（列）上，行列式的值不变．但若将行列式第i行（列）乘k，再将第j行（列）或第j行（列）的若干倍加在第i行（列）上，这样构成的行列式等于原行列式乘k． 例：设行列式 则 例：设Aj 表示行列式| aij | (i, j = 1, 2, 3, 4)的第 j 列( j = 1, 2, 3, 4)，已知| aij | =－2，求 解： 例：设行列式| aij | = m，（i,j =1,2,3,4,5)，依下列次序对| aij |进行变换后，求其结果． 交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(－ 3)乘以第二列加于第四列，最后用4除第二行各元素． 分析： 结 果 变 换 所以最终结果为－ 8m. －8 m －m －m －25 m －25 m 2乘所有元素 转置 例：用行列式性质证明 证明： (1) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0） (2) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0） 二、利用行列式的性质计算行列式 例：利用行列式的性质计算行列式 分析： 用行列式的定义计算 或 用行列式性质计算 例：计算行列式 解： 原式 例：计算行列式 解： 化一般行列式为上三角行列式的步骤：