线性代数第一章§1.4-1.6,习题.pptVIP

推论: 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + ··· + ainAjn = 0, i ? j ; a1iA1j + a2iA2j + ··· + aniAnj = 0, i ? j . 证: 把行列式D = det(aij) 按第 j 行展开, 得 把 ajk 换成 aik (k=1, 2, ··· , n ), 当 i ? j 时, 可得 第 j 行 第 i 行 当i ? j时， 关于代数余子式的重要性质 其中 ＝０， 例6: 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证: 用数学归纳法 所以, 当 n=2 时, (1)式成立. 假设对 n-1 阶范德蒙德行列式, (1)式成立. 按第一列展开, 并把每列的公因子( xi –x1 )提出, 得 n–1阶范德蒙德行列式 根据归纳假设得证: Dn ri –x1ri-1 i = n, n–1, ··· , 2, 1 例7: 计算 范德蒙德行列式 类似的例题： n+1阶范德蒙 德行列式 作业：1.（3）（4）， 2.（3）（5）， 3， 4.（3）（4），6（2）（3), 8（1）， （6），9 第一章 习题课 一、填空题。 10. 11. 例1: 计算行列式 二、计算及证明 r1 ? r2 r2 ? r3 解：D 例2: 计算行列式 D= 解: 例3: 计算 解: 将第2, 3, ··· , n+1列都加到第1列, 得 cj+1+(–aj)c1, j=2, 3 , ··· , n+1. 得 例4: 计算 范德蒙德行列式 类似的例题： n+1阶范德蒙 德行列式 例5: 计算 解: 依第n列把Dn拆成两个行列式之和, 从而得递推公式: 于是 如此继续下去, 可得 Dn = x1x2···xn-1a + xnDn-1. 故 Dn-1 = x1x2···xn-2a + xn-1Dn-2. Dn = x1x2···xn-1a + x1x2···xn-2axn + xn-1xnDn-2. Dn = x1x2···xn-1a + x1x2···xn-2axn + ··· + x1x2ax4···xn + x3··· xn-1xnD2. 而 所以, Dn = x1x2···xn-1a + x1x2···xn-2axn + ··· + x1x2ax4···xn + x1ax3···xn + ax2x3···xn + x1x2x3···xn. =a (x1x2···xn-1 + x1x2···xn-2xn + ··· + x1x3···xn + x2x3···xn) +x1x2x3···xn. 当x1x2x3···xn ?0时, 可改写为: 评注: 本题是利用行列式的性质和所给行列式的特点, 导出所给n 阶行列式Dn的递推公式, 从而求出Dn.递推公式方法是求有规律性n 阶行列式Dn的常用方法. 方法1，按最后一行展开； 方法2，按第一列展开得到递推式； 方法3，做运算 例6: 例6:证明 用归纳法证明即可。 　　小结: 计算行列式的方法比较灵活, 同一行列式可以有多种计算方法: 有的行列式计算需要几种方法综合应用. 在计算时, 首先要仔细考察行列式在构造上的特点, 利用行列式的性质对它进行变换后, 再考察它是否能用常用的几种方法. 一、对换的定义 §1.4 对 换 二、对换与排列奇偶性的关系 定理1: 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性. 对换:在排列中, 将任意两个元素对调, 其余元素不动. 相邻对换:将相邻两个元素对调. 推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. §1.5 行列式的性质 一、行列式的6条性质 行列式DT称为行列式D的转置行列式. 记 即 bij=aji ( i, j=1, 2, ···, n), 所以, DT = D，结论成立。 说明: 行列式中行与列具有同等的地位。 性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 证明: 证明: 对行的情形证明结论，设行列式 互换 i, j (i j)两行得到 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 于是 其中， 当 k ? i, j 时, bkp= akp; 当 k = i, j 时, bip= ajp, bjp= aip; 推论: 如果行列式D有两行(列)完全相同, 则D=0. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 例如: 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 性质5: