线性代数第一,二节 行列式的定义.pptVIP

当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 定理1.2 时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占 一半，各为 个. 证明 设n个数的排列中， 奇排列有 p 个，偶排列有 q 个， 则 p＋q＝n！ 对 p 个奇排列，施行同一对换， 则由定理1.1得到 p 个偶排列.（而且是p个不同 的偶排列） 因为总共有 q 个偶排列，所以 ,同理 所以 二、n阶行列式的定义 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 定义 其中 ? 为行标排列 的逆序数. 阶行列式也可定义为 其中 是两个 级排列，?为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 更一般的我们有: 定理 令 是n阶行列式中的任一项， 则项 的符号等于 得行列式的等价定义 例1 在6阶行列式中，下列项应带什么符号. 解 431265的逆序数为 所以 前边应带正号. 342165的逆序数为 所以 前边应带正号. 行标排列234516的逆序数为 列标排列312645的逆序数为 所以 前边应带正号. 说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 5、 的符号为 例2　计算对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零， 所以 只能等于 , 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例3. 计算 解： 例4 计算上三角行列式 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 分析 解 例5. 计算 解： 下三角行列式 例6 证明对角行列式 证明 第一式是显然的,下面证第二式. 若记 则依行列式定义 证毕 练习题 2 3 4 思考题 已知 思考题解答 解 含 的项有两项,即 对应于 * * 线性代数 数学与信息科学学院 Tel:赵 涛 19世纪后期发展起来的一个数学分支,? 高等院校理工科各专业及经济管理等专业的一门基础必修课， 硕士研究生入学考试数学科目中的一部分。本课程主要讨论有限维线性空间的线性理论与方法，具有较强的逻辑性，抽象性与广泛的实用性。 1.公理化的研究方法（定义，定理 性质） 2.概念较多，须掌握 3.逻辑推理多（证明多，计算简单，而且证明 都从定义定理出发） 4.内容是一块一块的，且矩阵串联起了各块 特 点 内 容 第一章 行列式 第二章 矩阵 第三章 线性方程组 第四章 向量空间 第五章 矩阵的特征值和特征向量 第六章 二次型 第一章 行列式 行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 克莱姆法则 【理解】 【熟记】 【重点】 【了解】 第一节 二、三阶行列式 用消元法解二元线性方程组 0.二阶行列式的引入 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 定义 即 其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。 主对角线 副对角线 对角线法则 一、二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意 分子、分母都为原方程组的系数行列式. 【练习】 二、三阶行列式 定义 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. (1)沙路法 三阶行列式的计算 (2)对角线法则 注意 红线上三元素的乘积为正号，蓝线上三 元素的乘积为负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 例1 解 按对角线法则，有 第二节