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模糊集与模糊系统 CI Lab School of Inofromation Sci. and Eng. University of Jinan yhchen@ 模糊集合 论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。 集合 在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。 特征函数 特征函数 设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令 1 当u∈A CA(u)= 0 当u A ? 则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有： A={ u | CA(u)=1 } 隶属度 特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A 的隶属度。 模糊集与隶属函数 隶属函数 设U是论域，μA是将任何u∈U映射为[0，1]上某个值的函数，即： μA：U→[0，1] u→μA(u) 则称μA为定义在U上的一个隶属函数 模糊集 例子 例、设有论域：U={ 缟山，刘水，秦声 } 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。 模糊集表示法 扎德表示法 设论域U是离散的且为有限集： U={ u1, u2, …, un, } 模糊集为：A={μA(u1), μA(u2), … , μA(un) } 则可将A表示为： 模糊集的运算 包含运算 设A,B∈U，若对任意u∈U，都有： μB(u)≤μA(u) 则称A包含B，记为:B A 并、交、补运算 设A,B∈U，分别称A∪B, A∩B为A与B的并集、交集，称 A为A的补集。 μA∪B (u)= max {μA (u), μB(u) } u∈U μA∩B (u)= min {μA (u), μB(u) } u∈U μ A (u)= 1-μA (u) 笛卡尔乘积与关系 设U与V是两个集合，则称 U×V={ (u,v) | u∈U, v∈V } 为U与V的笛卡尔乘积。 若R ∈ U×V，则称R为从U到V的一个关系。记为： 模糊关系 设Ui是（i=1,2,…n）论域，R是 U1×U2×…×Un上的一个模糊子集，则称R为U1×U2×…×Un上的一个n元模糊关系，记为： R= ∫ μR(u1, u2, …, un ) / (u1, u2, …, un) U1×U2×…×Un μR(u1, u2, …, un )是模糊关系R的隶属函数 例子 设有一组学生U: U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V: V={ 篮球，排球，足球，乒乓球 } 有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表示： TS型模糊系统 设有输入输出样本（x1,x2,…,xn,y）构造一个模糊系统来逼近这组样本。 通常每个输入变量要分层几个模糊子集 模糊规则的形式： 模糊规则的条数。设有n个输入变量，每个变量分为m个 模糊子集，则模糊规则的条数为：mn TS型模糊系统的计算 模糊系统的输出 例子 用3条规则逼近原函数（如图)。输入-输出对的数据已知，这里假定只有1个输入变量,它被划分为3个模糊集合,即大、中、小。可描述的规则如下： TS-模糊系统的识别 根据输入输出变量的个数、每个变量划分的模糊子集数，即可确定模糊规则的条数 也可确定TS模糊系统的自由参数的个数 然后使用遗传算法或粒子群优化算法，可优化出TS模糊系统的所有自由参数。 使用进化算法优化TS模糊系统 设有两个输入一个输出的系统 设变量x1和x2各分为3个模糊子集：A11,A12,A13和B11,B12,B13 模糊规则集为 使用进化算法优化TS模糊系统 设模糊子集使用Gausian型隶属度函数 这样模糊规则前件共有6X2=12个自由参数 加上模糊规则后件有3X9=27个自由参数 共有12+27个自由参数 TS型输出的计算 [例]设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，A={ 1,3,5 }，求其特征函数。 解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5 CA(u)= 0 当u=2,4 设A={ μA (u) | u∈U } 则称