斜线在平面内的射影，直线与平面所成的角.docVIP

高二数学（第28讲）斜线在平面内的射影，直线与平面所成的角。 【学习内容】 斜线在平面内的射影，直线与平面所成的角。 【学习指导】 一、斜线在平面内的射影，斜线与平面成角问题： 1．掌握斜线在平面内的射影的作法步骤： ①作垂线得垂足；②连斜足与垂足得射影。 2．利用斜线段相等射影相等掌握三个重要的射影： 设P为△ABC所在平面外的一点，O为P在平面ABC内的射影，则有 ①　P到△ABC的三个顶点等距离，则O为△ABC的外心。 ②　P到△ABC的三条边等距离（且O在△ABC的内部），则O为△ABC的内心。 ③　PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的垂心。 3．掌握线面成角的定义、范围及最小角原理。 ①　定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 补充定义：当直线与平面垂直时，成角为90°；当直线在平面内或与平面平行时，成角为0° ②　范围：［0°，90°］．斜线与平面成角范围为（0°，90°） ③　斜线与平面成角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 二、三垂线定理问题 1．要分清三垂线定理与逆定理：定理为垂直射影垂直斜线；逆定理为垂直斜线垂直射影2．要充分认识三垂线定理及逆定理的重要作用： ①证线线垂直（将判定空间中的两条直线是否垂直与判定平面中的两条直线是否垂直进行互相转化）； ②求平面外一点到平面内一条直线的距离（常从垂足向此直线作垂线段，求出其长后再用三垂线定理及勾股定理求解） 【典型例题分析】 例1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求： （1）A1B与平面A1B1CD所成的角； （2）B1B在平面A1C1B所成角的正切值。 分析　求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影。 （1）先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD内的射影，即从B向平面A1B1CD作垂线，一定要证明它是平面A1B1CD的垂线。 这里可证BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足， ∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影。 （2）若将平面D1D1BB竖直放置在正前方，则A1C1横放在正前方，估计B1B在平面A1C1B内的射影应落在O1B上，这是因为A1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H时，BH1⊥A1C1，即H为B1在平面A1C1B内的射影．另在求此角大小时，只要求∠B1BO1即可。 解　（1）如图，连结BC1，交B1C于O，连A1O。 ∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1。 又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1， ∴BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足， ∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影， 则∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角。 sin∠BA1O＝，∴∠BA1O＝30°。 （2）连结A1C1交B1D1于O1，连BO1， 作B1H⊥BO1于H．∵A1C1⊥平面D1DBB1，∴A1C1⊥B1H。 又B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面A1C1B， ∴∠B1BO1为B1B与平面A1C1B所成的角， tan∠B1BO =，即B1B与平面A1C1B所成的角的正切值为。 例2．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝36，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为80，M为AC的中点。 （1）求证：PM⊥AC； （2）求P到直线AC的距离； （3）求PM与平面ABC所成角的正切值。 分析　点P到△ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，而△ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点。 证明　（1）∵PA＝PC，M是AC中点，∴PM⊥AC 解　（2）∵BC＝36，∴MH＝18，又PH＝80， ∴PM＝，即P到直线AC的距离为82； （3）∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC内的射线为△ABC的外心， ∵∠C=90° ∴P在平面ABC内的射线为AB的中点H。 ∵PH⊥平面ABC，∴HM为PM在平面ABC上的射影， 则∠PMH为PM与平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝。 例3．如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。 分析　要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗。 解　作AO⊥平面BCD于O，连DO，作MN⊥平面BCD于N，则N∈OD。 设AD＝a，则OD＝，∴AO＝，∴MN＝。 又∵CM＝，∴CN＝。 ∴CM与平面BCD所成角的余弦值为。 点评　从以上三例可见，要求出线面成角，关键是作出平面的垂线而找出