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昆嘎大季学报 2007，18(4)：6—9 of Journal KunmingUniversity 集值优化问题的弱有效解 赵斐 (云南大学数学系，云南昆明650091) 摘要：集值映射的导数是解决集值优化问题的一个重要工具。论文借助于集值映射的相依导数，相邻 导数，约切导数等几种导数，以Lagrange乘子的形式给出集值优化问题有弱最小解的必要条件、充分条件以 及充分必要条件。 关键词：集值映射；最优化条件；弱最小解；相依导数；相邻导数 [中图分类号]0211[文献标识码】A [文章编号]1671—2056(2007)04一O006—04 1前言 的。称锥C是尖的。如果CN(一C)={0}。 近年来关于集值优化问题的研究成为许多作者 定义2令y’是y的对偶空间，且ccl，是一 关注的热点¨“J。如函数的导数在单值和向量最优 个锥。则C的对偶锥C+定义为 化问题中所起的作用那样u】，集值映射的各种导数 C‘={启Y‘：厂(，，)--0，V批C}。 也是集值优化理论和微分包含理论等领域的基础。 Egraph(F)。 著名的Lagrange乘子法则M’在约束最优化问题中起 了重要的作用¨】。受文[1—2]的启发，本文以 集值映射的相依导数、相邻导数和约切导数为工 具，研究集值优化问题存在弱最小解的条件。 本文的讨论主要针对集值优化问题的弱最小 +h。u。)。 解，而除了弱最小解外，还有Henig有效解、f一 有效解、强有效解等心】。将本文的研究方法稍加修 改，也可得到集值映射的这几种有效廨的必要条 件、充分条件和充分必要条件。 2预备知识 h。口。EF(粕4-h。l／,。)。 在本节中，我们将给出一些常用符号及在后面 讨论中将会用到的一些定义和结论。 设X，Y是赋范线性空间，记2’为Y的所有 子集所构成的集簇。设F：X一2。为集值映射，记 F(x)为F在x点处的值(象)。记dom(F)= p)使得对任意的n有，，．+h．。EF(髫。+h。u。)。 l xcX：F(x)≠巾为F的有效定义域，记graph 由上面的定义及参考文献[9]，我们有下面 (F)为F的图象，即graph(F)=l(X，y)eX×的命题。 Y：xedom(F)，yeF(x)}。设Acx为非空子集， 命题1 记F(A)：=Ux“F(x)为F在集A上的象，int (A)为A的内部，cl(A)为A的闭包。记舅为 实数集，舅：={X=(XI，)【2，…，x。)：xiE[0， +∞]，Vi=l，2，…，m}，乡贮=一劈l：。 定义1设y是赋范线性空间，Ccy为非空锥等价。 集。称C为l，上一个锥，如果对V艇C，VA0， 收稿日期：2007一11—20 基金项目：云南大学科研基金(2004z009c)． 作者简介：赵斐(1982一)，女，山东烟台人。硕士，主要从事应用数学研究． 万方数据 第4期 赵斐：集值优化问题的弱有效解 7 (F)件、充分条件和充分必要条件。 称集值映射F：A一2。是凸映射，如果graph 是凸集，即 定理l设A是x的非空凸子集，F和G是两 + AF(石I)(1一A)F(并2)cF(AxI+(1 个凸的集值映射，且设int(一CY)≠巾．若(‰， VAE[O，1]。 一A)耳2