2018年高中数学 第二章 函数 2.2.1 函数的单调性（第2课时）函数的最大值、最小值学案 苏教版必修1.docVIP

第2课时　函数的最大值、最小值 1．理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点) 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点) [基础·初探] 教材整理　函数的最大值、最小值 阅读教材P38例2至P40例5，完成下列问题． 1．函数的最大值 一般地，设y＝f (x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f (x)≤f (x0)，那么称f (x0)为y＝f (x)的最大值，记为ymax＝f (x0)． 2．函数的最小值 一般地，设y＝f (x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f (x)≥f (x0)，那么称f (x0)为y＝f (x)的最小值，记为ymin＝f (x0)． (1)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上单调递增，则f (x)的最大值为________，最小值为________． (2)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上单调递减，则f (x)的最大值为________，最小值为________． (3)已知函数y＝f (x)的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f (x)是单调增函数；当x∈[c，b]时，f (x)是单调减函数，则f (x)在x＝c时取得________． (4)已知函数y＝f (x)的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f (x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f (x)是单调增函数，则f (x)在________时取得最小值． 【答案】　(1)f (b)　f (a)　(2)f (a)　f (b)　(3)最大值　(4)x＝c [小组合作型] 利用图象求函数的最值 　求函数y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值． 【精彩点拨】　先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可． 【自主解答】　原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝图象如图． 故函数的最小值为3，最大值为7. 用图象法求最值的一般步骤 [再练一题] 1．(1)函数f (x)在[－2,2]上的图象如图2-2-3所示，则此函数的最小值、最大值分别是________． 图2-2-3 (2)已知函数f (x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________. (3)函数f (x)＝的最大值是________． 【解析】　(1)f (x)max＝2，f (x)min＝－1. (2)f (x)＝在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f (1)＝2，B＝f (2)＝1，∴A－B＝1. (3)作出f (x)的图象如图所示，∴f (x)max＝3. 【答案】　(1)2　－1　(2)1　(3)3 利用单调性求函数的最值 　已知函数f (x)＝. (1)用函数单调性定义证明f (x)＝在(1，＋∞)上是单调减函数； (2)求函数f (x)＝在区间[3,4]上的最大值与最小值． 【精彩点拨】　(1)利用单调性的定义证明． (2)利用(1)的结论求最值． 【自主解答】　(1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1x1x2， 则f (x1)－f (x2)＝－＝，因为1x1x2. 所以x2－x10，x1－10，x2－10， 所以f (x1)－f (x2)0，即f (x1)f (x2)． 故函数f (x)＝在(1，＋∞)上为单调递减函数． (2)由上述(1)可知，函数f (x)＝在[3,4]上为单调递减函数， 所以在x＝3时，函数f (x)＝取得最大值； 在x＝4时，函数f (x)＝取得最小值. 1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值． 2．函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f (x)在[a，b]上的最大值为f (a)，最小值为f (b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f (x)在[a，b]上的最大值为f (b)，最小值为f (a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． [再练一题] 2．求函数f (x)＝在[－4，－3]上的最值． 【解】　任取x1，x2∈[－4，－3]且x1x2， 则f (x1)－f (x2)＝－＝. ∵x1，x2∈[－4，－3]，∴x1－10，x2－10. 又x1x2，∴x2－x10， ∴f (x1)－f (x2)0，∴f (x1)f (x2)， ∴f (x)在[－4，－3]上单调递减， ∴f (x)max＝f (－4)＝， f (x)min＝f (－3)＝， ∴f (x)在[－4，－3]上最大值为，最小值为. [探究共研型] 二次函数求值域 探究1　如图2-2-4是函数f (x)＝(x－1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，和[0,3]时，f (x)的单调性．