2018年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性学案 新人教A版必修1.docVIP

1.3.2　奇偶性 1．结合具体函数了解函数奇偶性的含义．(难点) 2．会判断函数奇偶性的方法．(重点、难点) 3．能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易混点) [基础·初探] 教材整理1　偶函数 阅读教材P33～P34“观察”以上部分，完成下列问题． 偶函数条件 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做偶函数 图象特征 偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. 　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图1-3-4所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的增区间． 图1-3-4 【解】　由题意做出函数图象如下： 据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． 教材整理2　奇函数 阅读教材P34“观察”至P35“例5”以上部分，完成下列问题． 奇函数 条件 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) 结论 函数f(x)叫做奇函数 图象特征 奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　　) 【解析】　(1)×.如f(x)＝x2，满足f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数． (2)×.存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数． (3)×.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，也不是偶函数． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× [小组合作型] 函数奇偶性的判断 　给出以下结论： ①f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数； ②g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数； ③F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数； ④h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________． 【精彩点拨】　先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断． 【自主解答】　对于①，∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数，①正确； 对于②，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，∴g(x)＝＝＝，满足g(－x)＝－g(x)，故y＝g(x)是奇函数，②错误； 对于③，∵F(x)＝f(x)f(－x)，∴F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，∴F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，③正确； 对于④，由解得x＝±1，故函数h(x)的定义域为{－1,1}，且h(x)＝0，所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，④正确． 【答案】　①③④ 定义法判断函数奇偶性的步骤 [再练一题] 1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)【导学号 (1)f(x)＝x3；(2)f(x)＝|x|＋1；(3)f(x)＝； (4)f(x)＝x＋；(5)f(x)＝x2，x∈[－1,2]． 【解析】　对于(1)，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数； 对于(2)，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数； 对于(3)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数； 对于(4)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数； 对于(5)，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数． 故为偶函数的是(2)(3)． 【答案】　(2)(3) 利用函数的奇偶性求函数值或参数值 　(1)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A. 　　　B. 　　　C. 　　　D．1 (2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________. 【精彩点拨】　(1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a； (2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)． 【自主解答】　(1)∵f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)， ∴＝， ∴1＋a＝3(1－a)，解得a＝，故选A. (2)∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8