2018年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值（第1课时）函数的单调性学案 新人教A版必修1.docVIP

1.3　函数的基本性质 1．3.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) [基础·初探] 教材整理1　增函数与减函数的定义 阅读教材P27～P28，完成下列问题． 　增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为f(－1)f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．(　　) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)f(1)．(　　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　) 【解析】　(1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性． (2)√.由减函数的定义可知f(0)f(1)． (3)×.反例：f(x)＝ 【答案】　(1)×　(2)√　(3)× 教材整理2　函数的单调性与单调区间 阅读教材P29第一段，完成下列问题． 　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________． 【解析】　因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)． 【答案】　(－∞，1) [小组合作型] 求函数的单调区间 　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 【精彩点拨】　(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间． 【自主解答】　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数． (2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 1．求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3)． 2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)． [再练一题] 函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________. 【导学号 【解析】　因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)． 【答案】　(a，＋∞) 函数单调性的判定与证明 　 (1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)　　 　　　　　　 　　　　　 A．f(x)＝3－x B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ D．f(x)＝x2＋2x (2)用单调性定义证明函数f(x)＝在区间(0,1)上是减函数． 【精彩点拨】　(1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断． (2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得． 【自主解答】　(1)A.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数． 【答案】　D (2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝－＝＝. ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵x1，x2∈(0,1)，∴