2018年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值（第2课时）函数的最大（小）值学案 新人教A版必修1.docVIP

第2课时　函数的最大(小)值 1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点) 2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点) [基础·初探] 教材整理　函数的最大(小)值 阅读教材P30至“例3”以上部分，完成下列问题． 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1．函数f(x)＝，x∈[－1,0)∪(0,2](　　) A．有最大值，最小值－1 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值－1 D．无最大值，也无最小值 【解析】　函数f(x)＝在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D. 【答案】　D 2．函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________． 【解析】　因为f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－1,2]，所以f(x)的最小值为f(1)＝1，最大值为f(－1)＝5. 【答案】　1　5 [小组合作型] 利用函数的图象求函数的最值 (值域) 　画出函数y＝x－|x－1|的图象，并求其值域． 【精彩点拨】　先把y＝x－|x－1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域． 【自主解答】　y＝x－|x－1|＝ 画出该函数的图象如图所示． 由图可知，函数y＝x－|x－1|的值域为(－∞，1]． 1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确． 2．利用图象法求函数最值的一般步骤 →→→ [再练一题] 1．已知函数f(x)＝ (1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间及值域. 【导学号 图1-3-2 【解】　(1)图象如图所示： (2)由图可知f(x)的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]． 利用函数的单调性求最值(值域) 　求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值． 【精彩点拨】　先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可． 【自主解答】　设1≤x1x2≤2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)·＝(x1－x2)＝. ∵1≤x1x2≤2，∴x1－x20，x1x2－40，x1x20，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)是减函数． 同理f(x)在(2,4]上是增函数． ∴当x＝2时，f(x)取得最小值4，当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5. 函数的单调性与其最值的关系 1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． 2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． 3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值． [再练一题] 2．已知函数f(x)＝， (1)判断f(x)在[3,5]上的单调性，并证明； 【导学号 (2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值． 【解】　(1)f(x)在[3,5]上为减函数． 证明：任取x1，x2∈[3,5]，有x1＜x2， ∴f(x1)－f(x2)＝－＝. ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0， ∴＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在[3,5]上是减函数． (2)∵f(x)在[3,5]上是减函数， ∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1， f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝. 函数最值的实际应用 　某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆． 规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)． (1)求函数y＝f(x)的解析式及定义域； (2