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随机过程基础知识 伊藤引理、费曼定理与Girsanov定理 阅读材料 1. John Hull，期权、期货和其他衍生品（第 8版）第13章 2. Steven E. Shreve, Stochastic Calculas for Finance ‖: Continuous-Time Models. 湖南大学金融与统计学院 陈勇 2 均值与方差 • 随机变量的均值为u，方差为1，进行n次独 立的实验，每次实验结果的均值和方差是 什么？n次实验结果的平均值呢？ 湖南大学金融与统计学院 陈勇 3 随机过程 • 股票、汇率和利率随时间的变化。 • 包含不确定性。 湖南大学金融与统计学院 陈勇 4 马尔科夫过程 • 在马尔科夫过程中，未来的变量变动只 依赖于变量现在的取值，而不是变量怎 么达到现在的取值。 • 通常假设股票价格服从马尔科夫过程。 • 特定地点的气温服从马尔科夫过程吗？ 湖南大学金融与统计学院 陈勇 5 弱式市场有效 • 在弱式市场有效假设下，根据历史价 格设计的股票交易策略不能获得超额 收益。也就是说，技术分析是无效的。 • 服从马尔科夫过程的股价满足弱式有 效市场假设。 湖南大学金融与统计学院 陈勇 6 举个栗子 • 变量现在的取值是40 。 • 变量服从马尔科夫过程。 • 变量的变化是平稳的。 • 在1年之后，变量服从以40为均值、标 准方差为10的正态分布。 如果在不同时间段内变量变化的均值为零，方差 不变，则称变量是平稳的。 湖南大学金融与统计学院 陈勇 7 问题 • 股票价格在2年之后的概率分布是 什么？ • 在½年之后呢？ • 在Dt 年之后呢？ 湖南大学金融与统计学院 陈勇 8 维纳过程 令变量z 在短时间Dt 内的变化是Dz 。如果变 量的变化Dz 服从以零为均值、以Dt 为方差 的正态分布，且任何两个时点的变化相互独 立，则该过程为标准维纳过程。 湖南大学金融与统计学院 陈勇 9 标准维纳过程的性质 E z t  nDt  z t  0 1.      2. Cov z(t  Dt)  z(t ), z(t  Dt)  z(t ) 0 i i j j 3. Var z(t  nDt )  z(t) n Var z(t  Dt )  z(t) 当时间的变化趋近于零时，可以得到 E dz t 