【名师原创】江苏省启东市2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题五 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法.pdf

专题五 立体几何 第3 讲 立体几何中的向量方法 总序14 考情解读 (1)以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在 解答题的第①问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题．(2)以多面体(特别是 棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档 题．(3)以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以 及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 热点一 利用向量证明平行与垂直 例 1 如图，在直三棱柱ADE—BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形 且互相垂直，M 为AB 的中点，O 为DF 的中点．运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD . 思维启迪 从A 点出发的三条直线AB 、AD ，AE 两两垂直，可建立空间直角坐标系． 证明 方法一 由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方形边长为1，则A(0,0,0) ，B(1 ，0,0) ，C(1,1,0) ，D(0,1,0) ， 1 1 1 1 F(1,0,1) ，M ，0 ，0，O ， ，. 2  2 2 2 → 1 1 → → → → → (1)OM ＝0 ，－ ，－，BA ＝( －1,0,0)，∴OM·BA ＝0, ∴OM⊥BA .  2 2 → ∵棱柱ADE—BCF 是直三棱柱，∴AB ⊥平面BCF ，∴BA是平面BCF 的一个法向量， 且OM⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF. (2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n ＝(x ，y ，z ) ，n ＝(x ，y ，z )． 1 1 1 1 2 2 2 2 → → 1，－1，0 → ∵DF ＝(1 ，－1,1)，DM ＝ ，DC ＝(1,0,0) ， 2  1 x 1 －y 1 ＋z 1 ＝0 ， y 1 ＝x 1，   2 → →  1 1 由n ·DF ＝n ·DM ＝0 ，得 解得 令x ＝1，则n ＝1， ，－. 1 1 1  1 1 1  2 2  x 1 －y 1 ＝0 ， 2 z 1 ＝－x 1，  2 同理可得n ＝(0,1,1)．∵n ·n ＝0 ，∴平面MDF ⊥平面EFCD . 2 1 2 → → → → 1→ → 1→ 1 → → → 1→ 1→ 1→ 1→ 方法二 (1)OM ＝OF ＋FB ＋BM ＝DF －BF ＋BA ＝(DB ＋BF) －BF ＋BA ＝－BD －BF ＋BA 2 2 2