2017-2018学年度高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明（二）练习 新人教A版选修1-2.docVIP

2.2 直接证明与间接证明（2） A级　基础巩固 一、选择题 1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(　C　) A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 [解析]　“最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”． 2．如果两个数之和为正数，则这两个数(　D　) A．一个是正数，一个是负数 B．都是正数 C．不可能有负数 D．至少有一个是正数 [解析]　两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负． 3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的正确反设为(　D　) A．自然数a、b、c都是奇数 B．自然数a、b、c都是偶数 C．自然数a、b、c中至少有两个偶数 D．自然数a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数 [解析]　恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数． 4．若a、b、cR，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　B　) A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C．＋＋≥2 D．abc(a＋b＋c)≤ [解析]　a、b、cR，a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1 又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ＝a2＋b2＋c2＋2≥3. 5．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设(　B　) A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° [解析]　三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确． 6．若ab0，则下列不等式中总成立的是(　A　) A．a＋b＋ B． C．a＋b＋ D． [解析]　可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确． 二、填空题 7．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于　　. [解析]　假设a、b、c都小于，则a＋b＋c1，故a、b、c中至少有一个数不小于. 8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是__异面__. [解析]　假设AC与BD共面于平面 α，则A、C、B、D都在平面α内，AB?α，CDα，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面． 三、解答题 9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列. [解析]　假设，，成等差数列，则 ＋＝2，即a＋c＋2＝4b. 而b2＝ac，即b＝， 则有a＋c＋2＝4. 即(－)2＝0. 所以＝， 从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾， 故，，不成等差数列． B级　素养提升 一、选择题 1．下列命题不适合用反证法证明的是(　C　) A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交 B．两个不相等的角不是对顶角 C．平行四边形的对角线互相平分 D．已知x、yR，且x＋y2，求证：x、y中至少有一个大于1 [解析]　A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明． 2．设a、b、cR＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR0”是P、Q、R同时大于零的(　C　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [解析]　若P0，Q0，R0，则必有PQR0；反之，若PQR0，也必有P0，Q0，R0.因为当PQR0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P0，Q0，R0，即a＋bc，b＋ca，两式相加得b0，这与已知bR＋矛盾，因此必有P0，Q0，R0. 3．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　A　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 [解析]　至少有一个实根的否定为：没有实根． 4．下面的四个不等式： a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； a(1－a)≤； ＋≥2； (a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 其中恒成立的有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [解析]　a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac， a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－2)≤0， (a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d