论文用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组.docVIP

用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组 摘 要:利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组,这种方法在许多情况下应用起来比较方便.本文给出了一个命题，对于任意的矩阵C，对其做初等列变换，变成一个两部分的分块矩阵，左边是列满秩的子块，右边是零矩阵，对于一个单位矩阵做同样的初等列变换，右边将是其次线性方程组CX=0的基础解系.在此命题的基础上，可以用初等列变换来求解线性代数的许多计算题，也可以证明一些线性代数的定理.本文还将揭示，在求解非齐次线性方程组的时候，矩阵的列变换方法更加容易学习，更容易理解. 关键词: 矩阵; 初等列变换; 线性方程组 To solve linear equation using matrix elementary columu vary Abstract : To solve linear equation using mat rix elementary column vary, this method is very convenient under different circumstances. This paper gives and proofs a theorem,for any matrix C, do elementary column operations, chang it to a matrix which is partitioned to two submatrices which left one is column full rank and right one is zero matrix. Then do same elementary column operations to a unit matrix with same column number as C, and do some partition to the result, then right submatrix of it, is just basic solution set of homogeneous linear equation CX=0. On the basic of the theorem, lots of problems of linear algebra can be resolved and lots of theorems can be proofed by elementary column operations. The paper will reveal that them will not easy to learn and to program and to proof something as techniques giving by the paper. Key words : mat rix ; elementary column vary ;linear equation. 0 引言 非齐次线性方程组的求解是线性代数这门学科中不容忽视的内容，但教材中给出的方法多是用矩阵的初等行变换法求解，这种方法在很多时候显得费力.有没有想过在求解非齐次线性方程组的时候对增广矩阵（A，b）做一系列的初等列变换来得到方程组的解.本文将完全用初等列变换求解线性代数中许多计算问题，从理论上看，我们可以在完全不用行变换技术的前提下求解，这种方法是可行的，而且效果更好. 1 用矩阵的列变换求解非齐次线性方程组的理论基础 定义1 对于一个矩阵A，我们在它的行和列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块，用这种方法分成若干小块的矩阵A叫做一个分块矩阵. 定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩. 定义3 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=成立，那么A称为B的可逆矩阵. 定义4 把n阶单位矩阵进行初等行（列）变换后得到的矩阵称为初等方阵. 定义5 设，，…，是F上向量空间V的r个向量，只有当==……==0时，++……+=0成立，那么就称向量，，……，线性无关. 定理： 设给出了一个一般非齐次线性方程组： (1) 为了方便,将(1) 式写成矩阵的形式: (2) 设分块矩阵C = ，若系数矩阵的秩R(A) = r ,则分块矩阵C 经过列的初等变换,要求把系数矩阵右边的元素尽可能多的化为零，那么矩阵C 等价于如下形式的分块矩阵: C= (3) 其中r为系数矩阵的秩，为n + 1 阶单位矩阵, (i = 1 ,2, ……, n - r) 均为零向量, (i = 1 ,2 ,