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在问题反思中增加学生的数学感悟 江苏省沙洲中学 谢小琴 发表于数理化学习 2008第16期 CN23-1186/O 关键字： 反思、问题、感悟 在许多高中生眼中，学习数学是相对比较困难的活动，因为高中数学课程所涉及的数学知识比义务教育数学课程更系统和深刻，学生的理解一般不可能通过简单的数学活动就能掌握，常常需要经过反复地思考、不断地探析才能理解和建构。例如导数概念需要通过速度产生的过程等情境逐步进行建构；空间内点、线、面的位置关系，也需要通过观察、操作以及演绎推理等一系列数学活动才能理解，并在此基础上渐渐形成空间观念。 从问题解决来看，高中数学问题从问题情境、问题所涉及的数学知识，到问题解决策略等，都比义务教育阶段复杂的多。因此，不仅寻找问题解决策略需要不断地反思，而且判断问题解决的结果是否正确都并非易事。从高考中出现错题、以及学生“身在错中不知错”的现象，就是一个典型例子。从学生的学习过程来看，就像建构主义所解释的那样数学学习过程是一个不断自我调控的过程。例如，算术的四则运算需要按照运算法则一步步进行即可，但向量的运算相对于算术的运算来说适合与分配律，但不适合消去律和结合律。所以，在高中数学问题解决的过程中，不断需要比较、判断、调整、优化等反思性思维。 反思是过程不是目的，感悟和掌握数学的精神、思想和方法才是落脚点。学生对概念的理解往往是一个不断深化的过程，不像行为举止那样一挥而就。由于数学知识大都是程序性知识和策略性知识，因此关于数学概念的理解、数学思想方法的掌握更需要一个过程，甚至相当长的过程，一个循环上升的过程。例如，学生从初中开始就正式接触函数概念，到高中、大学又要学习函数概念，但是，学生在不同的学习阶段对函数概念的理解显然是不同的，可以说对函数概念的理解一步一台阶。传统数学课程实施中的策略是“细化知识点，小步前进，反复训练，强化记忆”，缺少主动提问、咀嚼反思，结果学生的知识结构很难形成，对概念、思想和方法不能从整体去理解，不能形成数学观念，反而时间一长，夹生饭便暴露无遗。数学意识是学生在数学学习中感悟形成的，是在元认知基础上建立的。著名数学家惠特尼认为，强制性的“死记硬背”数学教学，对不喜欢数学的学生来说无疑是雪上加霜，甚至把他们推上犯罪和自杀的道路。学生自己的数学体验是最珍贵的。所以，数学课程的实施要注重学生的感悟，尤其是在问题解决中感悟。例如：已知、为关于x的一元二次方程的两个实根，则的最小值为 ，大多数的同学在第一次做的时候，答案是，为什么错了呢？忽视了方程要有两个实根，必须要求，从而，得最小值为2，在这个过程中要让学生理解隐含条件在题目中的意义，以后做题要注重分析。 首先，在问题中让学生感到“遭遇不测”，从而感悟 学生在中学数学的学习中很少遭遇不测问题，这是传统数学课程实施中的一个缺陷。“对学生可能出现的问题不事先打预防针，而是出现了问题再针对解决，这样不但效益高，对牢固掌握知识更有利，往往失败的教训比成功的经验对学生的教育意义更大。”遭遇不测是形成反思的契机。当学生遇到始料不及的问题或认识偏差时，他们就会反思自己的认知活动，从而意识到自己的思维方向出现偏差或方法应用不当，就会获得这种否定的意识形式表征的认知体验，以及与之相伴的情感体验。课堂回答中“遭遇不测”或在考试中“遭遇不测”，都会让学生留下深刻的体验。中国学生缺乏提问精神，怕“遭遇不测”，实际上是失去了反思提高的极好机会。“一般来说，人们容易在需要高度自觉和紧张思维的具有重要意义的活动中获得较深刻的元认知体验。”。在此时人们会不断反思自己的认知，匡正纠偏，体验随之产生，感悟当然也就逐渐形成。例如：我在进行数列的单调性的教学时，喜欢从习题数列是单调递增数列，且，则的范围是 ，多数同学按照函数的单调性，利用对称轴不大于1，得到的范围是，在这种情况下我利用数列的单调性对恒成立，得到，比较两个答案的差异，再回头看利用函数的单调性，分析对称轴应该不大于，总结数列的单调性与函数的单调性的差异性与解题方法。 第二，通过具体问题情境驱动学生感悟 例如，导数概念的建立基于“无限逼近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同，首先根据学生的生活经验，提出问题：比较变化的快与慢时，只考虑y的变化行不行？启发学生讨论、探索、感悟和体会，并由学生自己举例说明。通过体会变化率的广阔的实际背景（如运动速度、绿地面积增长率、人口增长率、汽油的使用效率等等），学生就比较容易体会瞬时变化率就是导数。 具体问题情境驱动有利于增强学生做数学的自主意识。“好的教学方法的主要标志，是能充分调动学生积极性，让学生积极参与教学过程，通过学生自身实践把知识学到手。”学生通过思考具体问题、解决具体问