从相似入手探索存在性问题.docVIP

从相似入手探索存在性问题近年来的中考中，出现了一类判断是否存在一点或一条线段使某一结论成立的问题．解答它们，要注意根据题设条件，从相似入手，先找到有关线段之间的关系．现以近几年的中考题为例介绍如下： 例1 （湖南省长沙市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B. （1） 求证：△ABP∽△PCE； （2） 求等腰梯形的腰AB的长； （3） 在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶CE＝5∶3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由． 分析 （1） 在△ABP和△PCE中，∠B＝∠C. 要证明这两个三角形相似，只要再证明有一组角对应相等就可．（2） 作出等腰梯形的两条高AF及DQ．由于∠B＝60°，要求AB的长，应先确定BF的长． （3） 假设存在符合要求的点P，则必存在实数x＝BP，使得DE∶CE＝5∶3．接下去，应构造一个关于x的方程，若这个方程有实数解，且这个解的值大于0小于7，就存在；否则，就不存在． 解：（1） 在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，得∠C＝∠B＝60°． 所以∠CPE＋∠PEC＝120°． 因为∠APE＝∠B＝60°， 所以∠CPE＋∠APB＝120°． 所以∠APB＝∠PEC. 所以△ABP∽△PCE． （2） 作AF⊥BC于点F，作DQ⊥BC于点Q，那么BF＝CQ＝（BC－AD）＝2． 因为∠AFB＝90°，∠B＝60°， 所以∠BAF＝30°，AB＝2BF＝4． （3）假设存在符合要求的点P，则存在实数x＝BP，这时PC＝7－x． 因为△ABP∽△PCE， 所以=． 因为DE∶CE＝5∶3，DC＝AB＝4， 所以CE＝DC＝1.5． 所以=． 解之，x1= 1, x2= 6． 因为0＜x＜7， 所以存在符合要求的点P，且BP＝1，或6． 例2 （江苏省苏州市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP＝x． （1） 在△ABC中，AB＝ ； （2） 当x＝ 时，矩形PMCN的周长是14； （3） 是否存在线段AP，使得△APM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明． 分析 （1） 从勾股定理入手求AB的长；（2） 由于矩形PMCN的周长是14，得PM＋PN＝7．要求x的值，应考虑用含x的代数式分别表示PM和PN；（3） 要判断是否存在线段AP，只需判断是否存在实数x，使S△APM=S△ABC和S△PBN=S△ABC同时成立． 解：（1）在△ABC中， 因为∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， 所以AB＝＝10． （2）当AP＝x时，得PB＝10－x． 因为PM⊥AC于M，PN⊥BC于N， 所以Rt△APM∽Rt△ABC， Rt△PBN∽Rt△ABC. 所以 = ， = ． 所以PM=＝x， PN=＝10－x． 因为PM＋PN＝7， 所以x＋（10-x）＝7． 解之，x＝5． 所以当x＝5时，矩形PMCN的周长是14． （3） 假设存在符合要求的线段AP，则存在实数x，使S△APM =S△ABC和S△PBN =S△ABC同时成立． 因为Rt△APM∽Rt△ABC， Rt△PBN∽Rt△ABC， 所以=2，=2． 所以=2，=2． 由=2，得x＝；由=2，得x＝10－． 因为两者x的值不一致， 所以不存在符合要求的线段AP． 例3 （辽宁省鞍山市）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上． （1） 若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积； （2） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由； （3） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由． 分析 （1） 用含x的代数式表示△BEF的面积的关键在于用含x的代数式表示△BEF的边BE上的高；（2） 由于（1）中的x已使得EF平分等腰梯形ABCD的周长，要判断是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，只需判断