含参一元二次不等式求解策略.docVIP

含参一元二次不等式求解策略对于一元二次不等式的求解，关键把握 “三个二次”(即二次不等式、二次方程、二次函数)之间的关系， 但是，当遇到含有参数的一元二次不等式时，学生往往比较困惑，不知从何下笔，三个”二次”也不能够 好好应用，本文通过几个具体的实际案例，从如下几个”不确定”着手，对其进行探讨研究。 一、” △”的不确定： 例：解关于x的不等式 x2-(2m+1)·x+m2+m＜0. 方程x2-(2m+1)·x+m2+m的根为x1=m， x2=m+1且m＜m+1 二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m的图象开口向上，且与 x轴有两个交点 ∴不等式x2-(2m+1)x+m2+m＜0的解集为 {x｜m＜x＜m+1} 【小结】本例就是完全结合三个”二次”之间的关系进行解题，由二次不等式对应的二次方程求出零点， 再由求出的零点勾勒出对应的二次函数的图像，再结合二次函数的图像写出二次不等式的解集，对于这 种类型的含参不等式一般比较容易掌握，应用也比较熟练。 变式1：解关于x的不等式：x2+ɑx+1 ＞0 【析】观察该不等式对应的二次方程x2+ɑx+1 ＞0与上一方程x2-(2m+1)·x+m2+m＜0的区别在于，其不可 以直接通过因式分解求出x的根，应用求根公式时对于是否有解也不确定，因此，本例中对ɑ的讨论源于” △”的不确定. 解：方程 x2+ɑx+1 =0 △=ɑ2-4 1°当 △＜0，即-2 ＜ɑ＜2时，原不等式的解集为R. 2°当 △=0，即 ɑ=2orɑ=-2时，原不等式的解集为 {x｜x≠±1} 3°当 △＞0，即 ɑ＞2orɑ＜-2时，方程x2+ɑx+1 =0的两根为x1=-ɑ-ɑ2-42，x2=-ɑ+ɑ2-42 又 x1＜x2 则原不等式的解集为 x｜x＜-ɑ-ɑ2-42orx＞-ɑ+ɑ2-42 【小结】本例在求解对应二次方程的根的时候遇到不确定因素，因此要对其进行分类讨论，如果直接由 求根公式求出其根并进行继续讨论，那么根是否存在这一问题上势必会出现错误。 二、”两根大小”的不确定： 变式2： x2+(1-ɑ)x-ɑ＜0 【析】观察该不等式，不难发现其两根可以由因式分解得到，但是在勾勒二次函数图像的时候无法确定 两根具体的位置关系，因此，对其分类的标准源于”两根大小”的不确定. 解：方程x2+(1-ɑ)x-ɑ≤0的根为 x1=-1，x2=ɑ 1°当 ɑ＞-1时，函数 y=x2+(1-ɑ)x-ɑ的图象开口向上，零点为-1，ɑ ，则 不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ＜0的解集为（-1，ɑ ）. 同理： 2°当ɑ=-1时，不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ＜0的解集为  3°当ɑ＜-1时，不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ＜0的解集为（ɑ-1）. 综上： ɑ＞-1时，不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ＜0的解集为 （-1，ɑ ） ɑ=-1时，不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ＜0的解集为  ɑ＜-1时，不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ＜0的解集为 （ɑ-1） 【小结】本例与例题区别在于两根大小是未知的，在勾勒对应二次函数图像的时候零点的位置无法确定 ，因此，必须先对大小关系讨论，勾勒出二次函数的图像，再写出不等式的解集. 三、”二次项系数”的不确定 变式3： ɑx2-(ɑ+1)x+1＜0 【析】观察该不等式，二次项系数是未知的，因此其到底属于哪一类不等式是未知的，所以不能贸然对 其结合三个”二次”之间的关系进行解题，本例的分类源于”二次项系数”的不确定. 解：1°当 ɑ=0时， 原不等式即为 -x+1＜0x＞1原不等式的解集为 {x｜x＞1} . 2°当ɑ＞0时，原不等式转化为x2-1+1ɑx+1ɑ＜0x-1ɑ(x-1)＜0 方程x-1ɑ(x-1)＜0 的根为 x1=1ɑ， x2=1 ⑴当 1ɑ＞1，即 0＜ɑ＜1时，原不等式解集为 x｜1＜x＜1ɑ； ⑵当 1ɑ=1，即 ɑ=1时，原不等式解集为 ； ⑶当 1ɑ＜1，即ɑ＞1时，原不等式解集为 x｜1ɑ＜x＜1 ； 3°当 ɑ＜0时， x-1ɑ(x-1)＞0 ， 由于1ɑ＜1恒成立原不等式解集为 x｜x＞1或x＜1ɑ . 【小结】本例与例题的区别在于二次项系数是未知的，因此，对其进行精确定位是首要条件，对二次项 系数进行讨论，再结合三个”二次”之间的关系进行求解. 上述例题及三个变式题从不同角度对含参不等式问题进行阐述，只要按照三个”二次”的联系进 行分析求解，碰到不确定因素进行及时分类讨论，这类问题便可迎刃而解. 1