关于连续型随机变量分布函数一些重要性质的证明.pdfVIP

维普资讯 第 4卷 第 5期 鸡 西 大 学 学 报 Vd．4 No．5 2OO4年 lO月 JOURNALOFJⅨII I、 RSnY Oct．2004 文章编号 ：1672—6758(2oo4)05—0039—3 关于连续型随机变量分布函数一些重要性质的证明 胡春华 ji， ：给出了连续型随机变量的分布函数性质的一些重要结论，井给出了证明，对概率论和数理统 计的警习和教学具有指导意义。 关键词 ：连续型；随机 变量；分布函数 ；性质 中图分类号 ：o211．5 文献标识码：A 随机变量 的分布函数的定义为： = IP()dx+IP()dx F()=P{X }，∈(一∞，+∞) 不论 是离散型还是连续型随机变量 ，其分布函 = 音+IP()dx 数 F()均有如下性质： 性质 1 单调性 ：F()为 (一∞，+∞)上 的 对上式第二个积分，令 ￡：一 ，则 F(一口)： 单调递增 函数； p(一￡)d￡： 1一 p() ． 性质 2 有界性 ：0 F()51，且 lira F() r + + ∞ (2)利用 (1)的结论有 = 0，lim F()=1； r + + P{l l口}=P{一口 口}=F(口)一 性质 3 左连续性 ：F(一0)=F()。 F(一口)=2F(口)一1 对于连续型随机变量 而言，其分布函数 F (3)利用 (2)的结论有 ()在某些特定的条件下，亦有一些特殊 的性质。 P}I l 口}= 1一P}I l 口}= 1一 这里归纳如下： [2F(口)一1]=2[1一F(口)]。 结论 1 若随机变量 而言，其分布函数 F 概率论与数理统计中经常用到的标准正态分 ()为其分布 函数 ，P()为其密度 函数 ，当P(一 布和 ￡分布的密度函数都关于y轴对称，因此在计 )=P()，即密度函数关于 y轴对称时，对任意 算概率时常用到上述公式。 的 口0，有 结论2 若随机变量 是连续型的，F()为 (1)F(一口)= 1一F(口)= 1一 () ； 其分布函数 ，则Y=F(x)服从区间为[0，1]上的 均匀分布。 证明 设 P()为随机变量 的密度函数 ， (2)P}I l口}=2F(口)一1； (y)为随机变量 y=F()的密度函数 ，则有 (3)P}I l口}=2[1一F(口)]． F()=P()。考虑到Y=F()是定义 (一∞，+ 证 明 (1)令 ￡=一 ，则 ∞)在上的严格单调递增函数 ，故 F()在(一∞， r —a r — a F(一口)=IP()dx=一IP(一￡)dt +∞)上存在反函数 ，设其反函数为 ： (y)，0 J 一 ∞ J 一 ∞ )， 1，则 = IP()dt 当 )，0或