例析几道抽象函数问题.pdfVIP

54 数学通讯 ——2O14年第 3期 (上半月) ·课外 园地 · 例析几道抽象函数问题 杨飞霞 (重庆市涪陵第五中学校 ，408OO0) 我们把没有给出具体解析式 的函数称为抽象 0+ 1，所 以_厂(0)一一1； 函数．抽象函数问题往往只给出了一些体现函数 令 z—Y=～1，得 (一2)一厂(一1)+厂(一1) 特征的式子，由于表现形式的抽象性 ，显得很神 +1+ 1，又 厂(一2)一一2，所 以，(一1)一一2； 秘 ，使得这类问题成为函数内容的难点之一．另一 令 一1，一一1，得厂(一1)一f(1)+厂(一1) 方面，由于抽象函数问题可以全面考查学生对 函 一 1+ 1，所 以 厂(1)： 1． 数概念和性质的理解，同时又将 函数的定义域 、值 再令 3，一 1，得 f(x+1)一厂(z)+z+2． 域 、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以 又厂(1)一 1，所 以，当 ≥ 1( ∈z)时 ，f(x 在高考和竞赛 中不断出现这类问题． + 1)一厂(z)+z+2z+1，即对于大于 1的正 由于解析式的不确定 ，抽象函数问题解决起 整数 t，恒有 厂() t． 来更困难一些，一般用赋值法来寻求函数的特殊 又由f(y+1)一厂()+y+2可得厂(一3)一 值和表达式 ，通过类 比探寻函数的各种性质．本文 厂(一2)+ 1一一1，厂(一4)一厂(一3)+2— 1， 通过几个实例介绍解决抽象函数问题的方法和策 当 t≤～4时，厂()一f(t+1)=一 (t+2) 略，供读者参考． 0，(￡)单调递减 ，故 厂(f)≥，(一4)一 1 o． 例 1 (2OO4年全国联赛试题)设函数 厂：R— 综上所述，满足f(a)=a的整数a只有a一 1 R，满足厂(O)一1，且对任意z，Y∈R，都有f(xy+ 或a一一2． 1)一 厂(z) ·厂()一 厂()一 + 2，则 厂(z) 说明 实际上，求得f(1)一1后，由厂(+1) ： ● — — =厂()+Y+2，可知当 ≥2(n∈z)时， 分析 所给关系式中含有两个变元，可考虑 ，()一 f(n一1)+ ，z+ 1 先把关系式合理简化 ，再对 Y赋特殊值来求解． 一 f(n一2)+n+ (+1)一 … 解 由题意，对任意 z， ∈R，有 一 厂(1)+3+…+ + (+1) ，( + 1)一厂(z)·厂()一厂()一z+2， 一 1+ 3+ … + ，z+ (，z+ 1) 显然也有 1 一 ÷(n+1)(+2)一2 f(zy+ 1)一 ，()· ()～厂(z)一y+2， 故 厂()·厂()一厂(3，)一 +2一厂()·厂() 一 ÷(n+3n)一 1． 一 厂(z)一y+2，所 以厂()+y一 厂()-i-z． 当 ≤ o( ∈z)时， 又 厂(0)一 1，取 一0代人上式得 (z)一z 厂()= f(n+ 1)一 (+2) +