例谈一致连续与连续的关系.pdfVIP

第18卷 第10期 牡丹江大学学报 Vol.18 No.10 2009年10月 Journal of Mudanjiang University Oct. 2009 文章编号：1008-8717 （2009 ）10-0103-03 例谈一致连续与连续的关系 张 金 （宿迁高等师范学校，江苏 宿迁 223800） 摘 要：函数 f (x) 在区间 I 上一致连续，可得 f (x) 在区间 I 上连续，反之不一定。若 I 为有限闭区间 [a,b] ， 据 Cantor 定理，f (x) 在 [a,b] 上连续等价于 f (x) 在 [a,b] 上一致连续。从几个具体例题的证明中，本文探讨了开 区间以及无穷区间上一致连续与连续的关系，并由此解决两个相关的问题。 关键词：区间；一致连续；连续；关系 中图分类号：O17 文献标识码：A 一、引言 函数 f (x) 在区间 I （闭、开、半开半闭或无穷区间）上连续是一致连续的必要条件；若I 为有限闭区间 [a,b] ， 据 Cantor 定理[1] ，充分性也成立。然而，对于I 为开区间以及无穷区间的情形，充分性不一定成立。但是，从几个具 体例题的证明中，发现开区间以及无穷区间上的连续函数具备一定的条件时，充分性也成立。下面我们就从几个具 体例题的证明中，探讨这一问题，即开区间以及无穷区间上一致连续与连续的关系，并由此解决两个相关的问题。 二、举例论证 例 1 设 f (x) 在有限开区间 (a,b) 上连续，试证： f (x) 在 (a,b) 上一致连续的充要条件是极限 lim f (x) 与 + x →a lim f (x) 均存在（有限）。 x →b− 0 ′ ′′ ′ ′′ 证 1 （必要性）已知∀ε 0 ，∃δ 0 ，当x ,x ∈(a,b) ， x − x δ 时，有 ′ ′′ ，所以，当x ,x ∈(a,b) ，a x a + δ ，a x a + δ 时，有 f(x ) − f (x ) ε 1 2 1 2 f(x ) − f (x ) ε 1 2 据 Cauchy 准则，知极限 lim f (x) 存在（有限），同理 lim f (x) 存在。 x →a+ x →b− 20 （充分性）补充定义f (a) lim f (x) ，f (b) lim f (x) ，则f (x) 在 [a,b] 上连续。由 Cantor 定理， x →a+ x →b− f (x) 在 [a,b] 上一致连续，从而原 f (x) 在 (a,b) 上一致连续。 注 1 例 1 表明：在有限开区间（半开半闭区间）上连续函数是否一致连续，取决于函数在区间端点的状态。应 1 1 用本例，容易判明 f (x) sinx 在 (0,1) 上一致连续，而 f (x) lnx ，f (