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余弦函数的留数型逼近 周玮，李晓敏，刘敬怀 中国矿业大学理学院，江苏徐州（221008 ） E-mail: raincumt@126.com 摘 要：本文通过强连续余弦函数、C 余弦函数、n 次积分C 余弦函数的 Laplace 逆变换形 式,然后从A 的谱分布情况的角度，在适当限制预解式的条件下，用留数来逼近余弦函数， 给出了强连续余弦函数、 C n C 余弦函数、 次积分 余弦函数的留数型逼近形式。 关键词：余弦函数，预解式，Laplace 逆变换，留数 中图分类号： O177 0. 引言 一般我们所讨论算子半群的逼近[1−5] ，如概率型逼近，是在t 取相对较小值的情况下研 究的，但从应用的观点[6] （如抽象Cauchy 问题）看，还需关注当t →∞时余弦函数{C (t )} t≥0 的渐近性态，而对此起决定作用的是A 的谱分布情况，从这个角度，在适当限制预解式的 条件下，可以用留数来逼近算子半群. 朱广田、高德智等人给出了C 半群的此种逼近法.本 0 文将尝试通过余弦函数的 Laplace 逆变换研究余弦函数的留数型逼近。 1. 余弦函数的 Laplace 逆变换(Laplace inverse transformation- s of cosine functions) [1] ωt 引理1 设A 是C 半群{h (t )} 的无穷小生成元, h(t ) ≤Me , γ max 0 t≥0 2 {0,ω},则对∀x ∈D (A ) ,有 t 1 γ+∞i λt h s xds e R λ A xdλ， ∫ 0 ( ) 2πi ∫γ−∞i ( , ) 且右端积分在t 的任何有限区间上是一致收敛的． 定理1 设A 是强连续余弦函数{C (t )} 的无穷小生成元, C(t) ≤Meωt , t≥0 γ max{0,ω} ,则对∀x ∈D (A) ,有 1 γ+∞i λt 2 C t x e λR λ A xdλ， (1) ( ) ∫γ i ( , ) 2πi −∞ 且右端积分在t 的任何有限区间上是一致收敛的． 证明：由引理 1,对∀x ∈D (A) 有 h t x +h −t x