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12 数学通报 2014年 第53卷第8期 代数推动下的数学归纳法演变 王科汪晓勤 (华东师范大学数学系200241) 数学归纳法是一种证明与自然数咒有关数学 命题的重要方法，高中数学课程标准中对其有明 也使用了这个名称；直到20世纪，美国教材中才 确的要求：“了解数学归纳法的原理，能用数学归 介绍这个名词．在欧洲大陆，数学归纳法这个词 纳法证明一些简单的数学命题．”数学归纳法中 并不常用，德国数学家常用“完全归纳法”这个 的推理的本质特征用庞加莱的话来说就是：“把无 词，它最早出现在戴德金(RichardDedenkind， 穷的三段论纳入唯一的公式中．”本文对数学归 1831—1916)的著作《数字是什么，什么是数字》 纳法名称的由来进行了阐释，并对数学归纳法历 (1887)中‘引． Indue- 史的演化过程进行了梳理． 数学归纳法的英文是Mathematical 1数学归纳法名称的由来 tion，直译过来是数学的归纳法，而非数学归纳 正如很多数学概念一样，数学归纳法这个名 法，“数学的”作为形容词来修饰“归纳法”，在汉 称不是一开始就有的，很多数学家比如雅克比· 语语法中把“数学的归纳法”说成“数学归纳法”， 伯努利(JacobBernoulli，1654—1750)，布莱更符合语言习惯，却因此产生了很多误解：常把数 士·帕斯卡(BlaisePascal，1623—1662)，费马学归纳法和归纳法混淆，并误认为数学归纳法是 de (PierreFermat，1601—1665)，毛罗利科斯归纳的方法，非演绎的方法． (Franciscus 在经历了一个漫长的过程之后，“数学归纳 Maurolycus，1494—1575)等虽然用 过与数学归纳法类似的方法，但都没有给出一个 法”这个名词才被慢慢确定下来，成为一个约定 合适的名称．“归纳”一词，首次出现是在沃利斯 俗成的称呼．美国著名数学家、数学教育家波利 (JohnWallis，1616—1703)的《无穷算术》(1656)亚(George 的15页的命题XIX中[1]． 归纳法”这个名词是大家接受的术语，没有任何 具体的意义，数学归纳法的证明像是归纳在数学 1830年，英国数学家乔治·皮科克(George 上的一种补充． Peacock，1791—1858)在其著作《关于代数的著 作》中首次给“数学归纳法”起了一个特别的名 2代数推动下的数学归纳法的历史演化 字——“论证性归纳”．历史上，真正第一个提出 如同许多数学概念、方法一样，数学归纳法 “数学归纳法”这个名称的是英国数学家德·摩根 不是某个人在特定时期的一项发明，它的发展过 (De 程是相当缓慢的，其思想曾在许多数学家的著作 Morgan，1806—1871)，他在1838年《袖珍 中隐约地体现过．笔者通过对其历史的研究发现， 型百科全书))(PennyCyclopedia)书中的《归纳(数