代数结构-布尔代数与格.pdfVIP

布尔代数与格 离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系 内容提要  布尔函数  布尔代数  布尔代数的抽象定义  理解布尔代数的性质  代数格  有限布尔代数的表示  布尔代数与数字逻辑电路设计 布尔函数 n n  令B={0, 1}, B ={(x , …, x )| x ∈B, i =1, …, n}, 从B 到B 1 n i n 的函数称为n度布尔函数，f : B →B 。  取值范围为B 的变元称为布尔变元，x ∈B 。 n 2 4 8  n度布尔函数的个数：2↑2 (2 , 2 , 2 , …)  三种说法  含n个命题变量的命题逻辑表达式 n  n度布尔函数f : B →B  有n个输入和一个输出的逻辑电路 一个逻辑电路设计的例子  举重比赛中三个裁判中两个或者两个以上判定为成功则该 次成绩有效, 设计一个电子打分器, 输出一个结果: “成功” 或”失败”。 x y z f (x,y,z) 布尔函数:f (x,y ,z)=1 iff. x,y ,z 至少有两个为1。 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 相应的布尔表达式: 0 1 1 1 (x ’∧y ∧z)∨ (x∧y ’∧z)∨ 1 0 0 0 (x∧y ∧z ’)∨ (x∧y ∧z) 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 回顾：命题表达式的主析取范式  求(p →q) ↔ r 的主析取范式  (¬p ∧ r) ∨ (q∧ r) ∨ (p ∧¬q∧¬r ) （析取范式） ¬p ∧ r ↔ ¬p ∧ (¬q ∨ q) ∧ r ↔ (¬p ∧ ¬q ∧ r ) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ) q ∧ r ↔ ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (¬p ∧ q ∧ r )  (¬p ∧¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧¬q∧¬r )  (¬p ∧¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧¬q∧¬r) ∨ (p ∧ q ∧ r)  001 011 100 111 集合{0, 1}上的运算  布尔和  1+1=1, 1+0=1, 0+1=1, 0+0=0  布尔积  1⋅1=1, 1⋅ 0=0, 0⋅1=0, 0⋅0=0  补