从格林公式到斯托克斯公式.pdfVIP

第28卷 第8期(下) 赤 峰 学 院 学 报 (自然科 学版 ) Vo1．28No．8 2012年 8月 JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition) Aug．2012 从格林公式到斯托克斯公式 苏新卫 (中国矿业大学(北京)理学院 数学系，北京 100083) 摘 要：本文首先利用矢量分析方法，给出斯托克斯公式和格林公式建立在矢量场之上的形式上的统一性．然后，应用 格林公式．给出斯托克斯公式的推证方法．旨在促进对斯托克斯公式的理解和运用，展现数学知识之间的联系，提供分析问题 的合理方法． 关键词 ：斯托克斯公式；格林公式；矢量分析 中图分类号：0172．2 文献标识码：A 文章编号：1673—260X(2012)08—0001—02 1 引言 设三维空间向量场I~tA(x，Y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，Y，z) 斯托克斯(Stokes)公式是格林(Green)公式的推广，该公 给出，F是场中分段光滑的有向闭曲线，∑是场中以F为边 式把空间曲面上的曲面积分与其边界闭曲线上的曲线积分 界的分片光滑的有向曲面，∑的正侧与r的正向符合右手 联系起来，对进行曲面积分和曲线积分的简化计算的重要 规则 ，P、Q、R在包含∑的闭域 内具有一阶连续偏导数．在 性是毋容置疑的．全面、深刻地理解斯托克斯公式，无疑对于 矢《量分析与场论》删中，斯托克斯公式有如下的矢量形式 熟练掌握和灵活运用它是至关重要的． 多数教科书中，对斯托克斯公式采用传统严密的内容 f；·dl=J n·Os， (1) 安排模式一首先陈述公式成立的条件及公式本身 ，然后给 其中；为F的单位切向量，为∑的单位法向量， 出证明，最后辅以例题展示公式的应用，其证明方法是将曲 m=( 一 )+( 一 )j+( 一 ) 面积分转化为投影平面上的二重积分，然后应用格林公式 将二重积分转换为曲线积分 1]『．笔者在多年的教学中发现 ，斯 为矢量场 的旋度．(1)式的坐标形式为 托克斯公式对大多初学者来说是一个难点．因而，如何多角 frPdx+Qdy+Rdz=』(一)dyddz+(一 )dxddZ 度描述斯托克斯公式 ，以促进对公式本身的理解和运用，展 现数学知识之间的联系，提供分析问题的合理方法，是一个 +( 一 )dxdy． (2) 0X 0v 值得探讨的问题． 二元函数积分学中，格林公式描述 了xOy平面中闭域 在文献 2【1中，我们从对坐标的曲面积分的物理意义即 D上的二重积分和沿D的边界曲线 L的曲线积分之间的关 流体流量问题出发，推测出了高斯公式，类似可以从对坐标 系 ．即 的曲线积分的物理意义即变力沿曲线做功问题推测出斯托 lP『dx+Qd=』。(一OP)dxdy1 3() 克斯公式．本文结合矢量分析中有关场论的内容，对斯托 克斯公式进一步系统分析 ，指出其和格林公式建立在矢量