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从格林公式到斯托克斯公式

第28卷 第8期(下) 赤 峰 学 院 学 报 (自然科 学版 ) Vo1.28No.8 2012年 8月 JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition) Aug.2012 从格林公式到斯托克斯公式 苏新卫 (中国矿业大学(北京)理学院 数学系,北京 100083) 摘 要:本文首先利用矢量分析方法,给出斯托克斯公式和格林公式建立在矢量场之上的形式上的统一性.然后,应用 格林公式.给出斯托克斯公式的推证方法.旨在促进对斯托克斯公式的理解和运用,展现数学知识之间的联系,提供分析问题 的合理方法. 关键词 :斯托克斯公式;格林公式;矢量分析 中图分类号:0172.2 文献标识码:A 文章编号:1673—260X(2012)08—0001—02 1 引言 设三维空间向量场I~tA(x,Y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,Y,z) 斯托克斯(Stokes)公式是格林(Green)公式的推广,该公 给出,F是场中分段光滑的有向闭曲线,∑是场中以F为边 式把空间曲面上的曲面积分与其边界闭曲线上的曲线积分 界的分片光滑的有向曲面,∑的正侧与r的正向符合右手 联系起来,对进行曲面积分和曲线积分的简化计算的重要 规则 ,P、Q、R在包含∑的闭域 内具有一阶连续偏导数.在 性是毋容置疑的.全面、深刻地理解斯托克斯公式,无疑对于 矢《量分析与场论》删中,斯托克斯公式有如下的矢量形式 熟练掌握和灵活运用它是至关重要的. 多数教科书中,对斯托克斯公式采用传统严密的内容 f;·dl=J n·Os, (1) 安排模式一首先陈述公式成立的条件及公式本身 ,然后给 其中;为F的单位切向量,为∑的单位法向量, 出证明,最后辅以例题展示公式的应用,其证明方法是将曲 m=( 一 )+( 一 )j+( 一 ) 面积分转化为投影平面上的二重积分,然后应用格林公式 将二重积分转换为曲线积分 1]『.笔者在多年的教学中发现 ,斯 为矢量场 的旋度.(1)式的坐标形式为 托克斯公式对大多初学者来说是一个难点.因而,如何多角 frPdx+Qdy+Rdz=』(一)dyddz+(一 )dxddZ 度描述斯托克斯公式 ,以促进对公式本身的理解和运用,展 现数学知识之间的联系,提供分析问题的合理方法,是一个 +( 一 )dxdy. (2) 0X 0v 值得探讨的问题. 二元函数积分学中,格林公式描述 了xOy平面中闭域 在文献 2【1中,我们从对坐标的曲面积分的物理意义即 D上的二重积分和沿D的边界曲线 L的曲线积分之间的关 流体流量问题出发,推测出了高斯公式,类似可以从对坐标 系 .即 的曲线积分的物理意义即变力沿曲线做功问题推测出斯托 lP『dx+Qd=』。(一OP)dxdy1 3() 克斯公式.本文结合矢量分析中有关场论的内容,对斯托 克斯公式进一步系统分析 ,指出其和格林公式建立在矢量

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