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数学通报 2007年 第46卷 第5期 中学数学教学中的向量(续1) 齐民友 (武汉大学数学与统计学院 430o72) 3 怎样考虑起点 有坐标.另一类对象是向童，它们构成一个线性空 本文一开始就指出在研究有方向的量时，应该 间几叹首先考虑一般的线性空间，然后考虑欧氏空 把起点与大小方向区别开.这种情况在日常生活中 间).所以我们把两者合起来记作A=(M，仍，以下 有的是，下面我们编一个故事读者看一下是否切合 简称A为空间.这两类对象的关系如何?对一个点P “生活情景”.有人(姑名之为A)看见B手上有一本 和一个向量，，其基本关系是对尸作一个平移v。平 书正是自己想买而未买到的，于是就问是在哪里买 移的结果达到另一个点Q.我们记作尸+，=Q.同 的.B说:“不远，你就沿着这条路向北走，大约5分 样，也写作Q一尸=v，不过这里的+‘’号和 “一”号 钟后就有一个转角，向右转再走300米就行了.”于 都是形式记号，而不是加法减法.因为点和向量是 是A就去了，可是越走越远，只好打手机问B.B一 不能相加相减的.总之，我们将得到一个有向线段 定先问“你现在在哪里?”就是想要确定一个点，A 戒 :A一弋蔑}.A空间就是有向线段的集合.以下， 说走到超市门口了.B连忙说:“走过头了，快退回 记号站恒表示一个有向线段，而，称为它的向童成 来，向南走到第二个路口，转角上有一家花店(这又 分，尸称为其起点，Q称为其终点.有向线段在不少 是一个点)，你就向东走300米，到了一家电影院门 文献中称为 “固定向量”，与此相对，前面讲的向量 口(这又是一个点)，它的对面就是.”这一次B把路 常称为“自由向量”，不过我们不使用这个名词，而 讲清楚了.分析一下，B的答案是: 直接说 “向量”.(即线性空间的元素)，即是说凡用 A在尸点，即超市门口一 (沿向量vl，即向南 到“向量”二字，恒指自由向童.不少文献中还有 “滑 走到第二个路口)一 到达Q点，即花店一 (再沿 动向量”的说法，我们也不采用.总之，只有一种向 向量凡，即向东走300米)一 到达终点R，即电影 量，即线性空间的元素.这种说法没有歧义，而且是 院。 绝大多数数学文献所采用的. 这里包含三个点，以及两个向量，A从起点尸按 这两类对象之间的关系是:向量v是一个平移， 向量vl平移到点Q;再从Q点按第二个向量v:平移 它可以作用到尸点，把尸点移到终点Q.人教社教材 到终点R.这个例子非常简单，但非常典型.以下我 上这一点讲得很清楚，它说 “平移是一个向量，它只 们会看到这是几何学中常用的一种 “范式”.具体说 (这个字是我加的)有大小和方向”，而没有起点，但 来，为了解决几何问题，单有向量是不够用的，需要 是它可以作用到任一点P(作为起点)上.用课标中 把 “点”也考虑进去.很多大数学家都曾指出:线性 提倡使用而且绝大部分数学文献上都已采用的说 空间R，并非研究(初等)几何的最适合的框架.我 法:平移是一个变换(或映射)，它可以用向量v来表 们曾以为，大数学家讲的话自然有深奥的道理，但 示.但是有些读者可能不习惯，课标中专门讲到变 是太深奥了与中学有什么关系?现在我们懂得了情 换时不是把变换用矩阵表示的吗?其实，细读一下 况并非如此，我们可以把它弄得十分平易近人.于 课标就会发现:变换T就是把一个元素x变为一个 是我们说:把两类对象合在一起来讨论，一类是点， 元素贝不一定是另一元素)，记作y=Tx，有多种 点构成一个集合M，其实这个集合就是我们常见的 多样的变换，也有多种表示，例如函数y=f(x)也 平面或3维空间，不过有一点不同:所有的点都是平 是变换，不过我们习惯上不常把函