上海交通大学2004至2005第一学期线性代数期末考试试卷.docVIP

上海交通大学2004至2005第一学期线性代数期末考试试卷 线 性 代 数 试 卷(A)????????2004-12-29 姓名____???????_____??__班级____???___????___学号______?????________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（每题3分，共15分） 1.设矩阵，则行列式????????? (A)　； 　?(B)　；??　　(C)　；??(D)　 2.设三阶矩阵?，已知伴随矩阵的秩为1，则必有???????? (A)?；???????????????(B)?；? (C)?；???????????????(D)???? 3.设是维非零实列向量,矩阵,，则___________ (A)?至少有－1个特征值为1；?????(B)?恰有个特征值为1； (C)?只有1个特征值为1；??????????(D)?没有1个特征值为1 4. (A)?；???????????????????(B)?； (C)?；????????????????(D)???? 5.已知解向量组是齐次线性方程组的基础解系，以下解 向量组中，也是的基础解系的是?????????? ?； ?； ?； ? 二、填空题（每题3分，共15分） 1．设4阶方阵的伴随矩阵为，且它们的秩为， 则秩?__________； 2.?设阶向量，；矩阵?,且 ，则___????______； 3.?已知实二次型正定,则实常数 的取值范围为________________； 4.?设向量和都是矩阵对应特征值的特征向量，且 向量，则向量?????????????； 5.?设为阶实矩阵，且，，则行列式??????????? 三、计算题(每题9分,共54分) 1.?计算5阶行列式：????? 2.?设4阶方阵满足方程?，试求矩阵，其中 3.?已知为三阶实对称矩阵，,,,是对应特征值 的特征向量，试求：（1）的另一个特征值及其特征向量；?（2） 矩阵 4.?已知实二次型?=求正交变换, 化为标准形，并写出正交变换 ? 5.?设的两个基，，；，，? ?（1） 求由基??的过渡矩阵； ?（2） 已知向量，求向量在基??下的坐标 6.?设线性方程组为，问,各取何值时，线性 方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解 四、证明题(每题8分,共16分) 1．设为阶矩阵，且满足，，， 证明：? 2.?设是阶实矩阵,证明：为正定矩阵的充分必要条件为存在阶正定矩阵，使