三大尺规作图问题.pdfVIP

引人入胜的千古难题 ——三大尺规作图问题 尺规作图是我们熟知的内容。尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。 直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两 圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。 公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规） 来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图 形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探 讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规 去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有 效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。 传说大约在公元前 400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿 波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大 1 倍，否则疫病 会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不 能办到时，才感到事态的严重。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉 图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方 体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立 方体的两倍。 任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任 意角是很容易做到的。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等 分，想必也不会有多大困难。但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。 于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。 正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能 不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图 三大难题的第三个问题——化圆为方问题。 古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。希腊人为解决三大几何问题付出了许 多努力，后来许多国家的数学家和数学爱好者也一再向这三大问题发起攻击，可是，这三 大问题却在长达 2000 多年的漫长岁月里悬而未决。问题的妙处在于它们从形式上看非常简 单，似乎应该可以用尺规作图来完成，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能 使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。某个图形是可作的就是指 从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的 思想。 1 尺规三大作图难题的研究在数学史上持续了二千年，耗费了许多数学家的聪明才智， 甚至是毕生的精力。屡遭失败以后，人们一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面很自 然地考虑不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不 是可以解决这些问题呢？ 十八世纪，人们应用代数方法对尺规作图的可能性进行了深入的研究，数学家们把一 个几何作图问题化归为一个代数方程来加以考虑，一个尺规作图问题能否解决，要看与此 问题相应的代数方程的根能否通过对系数进行加减乘除和开平方运算求出。1637年，笛卡 尔首先提出立方倍积问题不可能用尺规作图得出。1837 年，法国数学家旺策尔给出三等分 任意角和立方倍积问题都是尺规作图不可能问题的证明。后来人们发现，早在 1830 年前后， 18 岁的法国中学生伽罗华首创的后来称为“伽罗华理论”的理论，能证明三大作图问题都 是尺规作图不能做到的问题，但证明“化圆为方”的不可能时，还必须先证明圆周率 π是 “超越数”。1882 年，德国数学家林德曼证明了π是超越数，于是“化圆为方”问题获得 解决。至此，困扰人们 2000 多年的三大作图问题都被证明为尺规作图不可能问题。认识到 有些事情确实是不可能的，并不比证明这些事情是可能的轻松，这是数学思想的一大飞跃。 人们发现，一旦改变了作图工具的限制，问题就会变成另外的样子。比如直尺上如果 有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上演绎出很 多故事。在求解三等分任意角时，希腊数学家相继发展了高等几何。门奈赫莫斯发明用蚌 线，希皮亚斯发明用割圆曲线，