三年磨一式：湖北高考中的贝努利不等式.pdfVIP

· 复习参考 · 数学通讯 ——2O13年第 9期(上半月) 47 三年磨一式：湖北高考中的贝努利不等式 高丰平 (湖北省孝昌县第二高级中学，4329OO) 贝努利不等式是一个重要 的不等式 ，其本身 z一0．当一1z0时，／()0，此时，(z)为 是一个很初等的不等式 ，应用广泛．在湖北高考理 减 函数 ；当z0时，厂 (z) 0，此时厂(z)为增函 科压轴题中，经常可 以见到贝努利不等式 的推导、 数．故函数 (z)的极小值也就是最小值为，(O)一 证明及应用． 0． 一 、 贝努利不等式简介 所 以，当z一1且 z≠0时，()= (1+z) 定理 1 (贝努利不等式)设 ≥ 2，实数 z ， 一 1一凹 ，(0)一 0，即(1+ )。 1+ ． z ，…， 都大于 一 1，并且它们都有着相 同的符 二、湖北高考函数压轴题回放 号 ，则 在近几年的湖北高考 函数压轴题 中，一般是 (1+ z1)(1+ z2)… (1+ ) 由函数求导得到一个最值，然后根据此推导或引 1+ z1+,272+ … + 37． 申出一个与贝努利不等式相关 的结论 ，最后是代 特别地 ，当z一1且 z≠ 0时 ，有 (1+z) 值或是拓展应用． 1+ n37． 例 1 (2013年湖北高考理科22)设 ，z为正整 证明 (用数学归纳法)当 = 2时，有 (1+ 数 ，r为正有理数． z1)(1+ 2)= 1+zl+ 2+z1z2 1+ l+ z2， (I)求函数 厂()===(1+ ) 一 (，-+1)x一 结论成立 ； 1(z一1)的最小值 ； 假设 n—k时，(1+z。)(1+ 2)…(1+z^) (II)证 明 ： 1+z1+z2+ …+ 成立 ；当 = 五十 1时 ，利用 上一步的假设结果 ，可得 I f L ； (1+ z1)(1+ z2)… (1+z^)(1+ 胂1) (III)设 z∈R，记[]为不小于 的最小整 [1+ (1+z2+…+ I)](1+z抖1) 数，例如[2]一2，[]=4，[一 ]一一1．令S一 1+ (z1+ z2+ … + z )+ Xtq-1， 即 = 愚+ 1时，结论成立． 玎+ + 西+…+蕊 ，求[s]的值． 由归纳法原理可知 ：对任意 ，z≥ 2，结论成立． (参考数据 ：8o一344．7，81÷一 350．5，124÷ 定理 2 (一般形式的贝努利不等式) 一 618．3，lz6k：631 ． 7．) (1)设 0 口 1，则 当 一1且 z≠ 0时 ， 有 (1+ ) 1+凹 ； 解 (I)因为 ／(z)一 (r+1)(1+z)一(r (2)设 a 1，则 当 一1且 z≠0时 ，有 (1 +1)一 (r+1)[(1+ )一1]，令 f(z)一0，得 z + ) 1+凹 ． 一 0