三割线定理的若干应用.pdfVIP

2010年第 10期 中学数学研究 43 三割线定理的若干应用 辽宁省岫岩满族 自治县教师进修学校 (114300) 侯明辉 文[1]给出并证明了由笔者发现并命名的三割 线定理．本文论述三割线定理在平面几何解证题中 引理 如图4，过 o0外 的若干应用，以飨读者 ． 一 点P，任作两条割线PAB和 1 三割线定理及其逆定理 PCD，分别交 o0于点A、、 三割线定理 如 图 1，过 JD c、D，弦AD和 BC相交于点 o0外的点P引o0的两条割线 Q，则点Q在 自点P向o0所 PAB和PCD，分别交 o0于点A、 引的切线的切点弦上 ．注 ：文 B、C、D，弦AD和BC相交于点Q， [2]已经证明了这个引理，本 割线PEF经过点Q交 o0于点 文例4的证法实际上是它的 E、F， 则 1／PE + 1／PF = 一 种最简单的方法 ． 2／PQ．(为了节省篇幅，其证明略 定理 1 如 图5，过 o0 ， 去) 外的点P引 o0的两条割线 若将两条割线 (PAB、PCD) 图 1 PAB和PEF，分别交 o0于点 P 变为两条切线 (PA、PB，A、B是切点)，则此结论仍然 A、B、E、F，点Q在弦 F上，且 成立，于是得到三割线定理的一个推论及这个推论 满足 1／朋 +1／PF =2／PQ， 弦AD和 EF相交于点 Q，PD 图5 的逆定理 ． 推论 如图2，过 o0外 交 o0于点C，则B、Q、C三点共线 ． 的点P引o0的两条切线 证明：连接BC交AD于点Q，则由引理，知点Q 和P ，A、日是切点，割线 朋 F 在 自点 P向 o0所引的切线的切点弦上 ．因为 交 o0于点E、F，交AB于点 1／PE+1／PF=2／PQ，由三割线定理推论的逆定 Q，则 1／PE+1／PF=2／PQ． 理，知点Q在 自点P向o0所引的切线的切点弦上， 注：这个推论实际上是 图2 即点 Q 与Q重合，亦即B、Q、C三点共线． 2OO1年TI杯全国初 中数学竞 定理 2 如 图6，过 o0 赛试题，为了节省篇幅，其证 外的点P引 o0的两条割线 明略去 ． PAB和 PEF，分别交 o0于 推论的逆定理 如图3， 点A、B、E、F，点Q在弦 F上， 过 oD外的点P引 oo的割 且 满 足 1／PE + 1／PF = 图6 线PEF，交 o0于点E、F，点 2／PQ，弦BC和 AD相交于点 Q在弦EF上，若 1／PE+1／PF 图3 Q，则P、C、D三点共线 ． = 2／PQ，则点Q在 自点P向 证明：连接PD交 o0于点C ，连接 BC 交AD o0所引的切线的切点弦上