《矩阵论》课件10QR分解与Schur分解(华中科大).pdfVIP

第十讲 UR(QR)分解与 Schur 分解 一、 UR 分解和 QR 分解（UR 的推广） 1. 定义：如果实 （复）矩阵A 可化为正交 （酉）矩阵 U 与实 （复）上三 角矩阵 R(主对角线元为正) 的乘积，即A =UR ，则称上式为 A 的UR 分 解。 2. 可逆方阵的 UR 分解 ①存在性： P74 定理 3.7 ：设 A 是 n 阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵 U 与 实（复）上三角矩阵 R 使得A =UR ，其中 ⎡r r r ⎤ ⎢ 11 12 1n ⎥ ⎢ r ⎥ =⎢ 22 ⎥ = R , r 0;i 1, 2, ...,n. ⎢ ⎥ ii ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ r ⎣ nn ⎦ [证明] ：设 A 记为A = α α α ，A 非奇异→α , α , , α 线 [ 1 2 n ] 1 2 n 性无关 采用 Gram-schmidt 正交化方法将它们正交化，可得β , β , , β 1 2 n ⎡||β || (α ,ε) (α ,ε)⎤ ⎢ 1 2 1 n 1 ⎥ ⎢ ||β || (α ,ε ) ⎥ α α α ε ε ε ⎢ 2 n 2 ⎥ = [ 1 2 n ] [ 1 2 n ]⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ||β || ⎥ ⎣ n ⎦ =ε ε ε R [ 1 2 n ] Q 是正交（酉）矩阵， R 是实（复）上三角矩阵。 ② 求可逆矩阵的 UR 分解(Schmidt 正交化方法) ⎡1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 例，设A =1 1 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣1 1 1⎥⎦ 将 UR 分解推广到对列满秩矩阵进行： 3 ，列满秩矩阵的 QR 分解 P76,定理 3.8. 设 A 是m ×k 的实（复）矩阵，且其 k 个列线性无关（即 列满秩），则A 具有分解A = QR 。其中 Q 是m ×k 阶实 （复）矩阵，且 满足QTQ = I(QH Q = I) ，R 是 k 阶实（复）非奇异上三角矩阵。 二，Schur 定理（Schur 分解） 1，内容：设A ∈Cn×n ，则存在酉矩阵 U 和上三角矩阵 T 使得 ⎡λ t t ⎤ ⎢ 1 12 1n ⎥ ⎢