“同源共祖”的两道试题及其推广.pdfVIP

2016年第6期 数学教学 6-25 “同源共祖的两道试题及其推广1 245200 安徽省歙县中学 郑观宝 问题 1 过 圆p外一点P作该圆的两条 切线P 、PD和一条割线PAB，切点分别为 点C、D，弦AB、D相交于点Q，则蕞 = ／／／一 ，／ P ＼ AQ QB ‘ 证 明：如 图1 连 结 (=)、OB、(=)D，由 切割线定理和直角三角形射影定理可得PD 图2 ： P ．JF)B=P日．P(=)得 、B、(二)、日四点共 分析：若存在这样的点Q，连结QA、QB， 圆 AHP = AB0 ／BA0 = BH0．又 IQAI AB0=ZBA0，所以 AHP= B日(二)，于是 f= 啼 QP平分／ ． 可得 ／AHD = ／BHD，故 日D平分 AHB， 事实上，问题 1还可叙述为：过点P作直 日P为 AHB的外角平分线． 线与圆相交于A、B两点，则存在点 日，过点 日作直线 D上P日 则直线 D平分 AHB P f或日P平分 AHB的邻补角)． 上述分析，让我们联想到椭圆焦点与准线 的一条性质：如图3，过椭圆E ： + =1 (ab0)右焦点 的直线与椭圆交于 、JE} C 两点，右准线f与对称轴的交点为 日，则日 平 分 ／AHB，直线f平分 AHB的邻补角． l l 图 1 ／ 所 以AP AH AQ AH ， 故结论成 ：丽 ，丽 =丽 立 ． 。 图3 问题2 f2015年高考四川卷理科试题)如 本文将从这个问题出发，作一系列的推广， 图2，已知椭 圆E ： + = 1，过 点 直到得出上述两道试题的最终源头，不到之处 P(O，1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点． 敬请斧正． 问在平面直角坐标 系xOy中，是 否存在 与 一 、 类比推广l——从焦点到长轴上其他 点P不同的定点Q，使得 =丽IPAI恒成 点 为叙述方便，给出下列定义：如图4