§1.5 矩阵的初等变换.pptVIP

解 将方程记为 XA=B, ? A可逆, 且有 例7 设 求满足 AXB=C 的矩阵 X . 此种题型解题步骤: 先说明A, B可逆,并求出 A?1, B?1. 然后计算 X= A?1CB?1 . 例8 设矩阵 A, B 满足方程 AB=A+2B, 其中 求矩阵 B. 解 将方程改写为 (A?2E)B=A, ? A?2E 可逆, 且有 说明: 1. Page 33 第9 ——12行两点注意事项. 2. 此解法为一般矩阵方程的常规解法之一. 解法二见课本Page33 例1.21之解法. §1.5 矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换与标准形 二、初等矩阵 三、利用初等变换求逆矩阵 四、矩阵方程 一、矩阵的初等变换与标准形 1.定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换两行 (交换 i , j 两行, 记作 ri ? rj ). (2) 用一个非零常数乘以某行 (用数 k? 0乘以第 i 行, 记作 ri ? k ). (3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行, 记作 ri+krj ). 把定义中的“行”换成“列”, 即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r ”换成“c”)． 2. 矩阵的初等行变换与初等列变换统称初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． (1) ri ? rj 的逆变换是 ri ? rj (2) ri ? k 的逆变换是 (或记作 ri ? k ). (3) ri+krj 的逆变换是 ri+(?k)rj (或记作 ri ? krj ). 3. 1) 若矩阵A经有限次初等行 变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B行 等价, 记作 (列) (列) 2) 若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B等价, 记作 A ? B. 等价关系具有性质： (1) 自反身性: A ? A . (2) 对称性: 若 A ? B, 则 B ? A. (3) 传递性: 若 A ? B, B ? C,则A ? C. 定理1.2 任一矩阵Am?n , 总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵. 定理1.3 任一矩阵Am?n , 等价于矩阵 , 其中 Er是 r 阶单位矩阵( 约定r=0时, E0为零矩阵). —— 称为矩阵 A 的标准形. 特点: 左上角是一个单位矩阵, 其余元素全为0. 例1 将矩阵 化为行阶梯形、 行最简形及标准形. 矩阵化标准形步骤：先 用初等行变换化为行最简形,再用初等列变换化为标准形. 例 将矩阵 化为标准形. 说明: n 阶可逆矩阵的标准形是 n 阶单位矩阵E. 1.定义 对单位矩阵 E 施行一次初等变换后得到的方阵称为初等矩阵. 2. 三种初等矩阵: 二、初等矩阵 E(i, j ), E( i( k )) , E( i,j( k )). 3. 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵. 4. 初等矩阵均可逆, 且有: 2. 三种初等矩阵 (1) 对调单位阵E第 i , j 两行 得初等方阵 E(i, j ). ? 第 i 行 ? 第 j 行 (列) (2) 以数 k?0 乘单位阵E的第i行 得初等阵 E( i( k )) . ? 第 i 行 (列) (3) 以数 k?0 乘E的第 j 行加到第 i 行得初等阵 E( i,j( k )). ? 第 i 行 ? 第 j 行 以数 k?0 乘E的第i 列加到第 j 列 例2 以下矩阵是否是初等矩阵? 5. 初等矩阵的性质 性质1 设 A 是 m? n 矩阵, 对 A 施行一次初等行变换, 相当于用相应的 m 阶初等矩阵左乘 A ; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于用相应的 n 阶初等矩阵右乘 A . 用 m 阶初等方阵 Em(i, j )左乘 Am?n=(aij), 得: ? 第 i 行 ? 第 j 行 相当于把 A的第 i 行与第 j 行交换 ( ri ? rj ). 类似地: 用 n 阶初等方阵 En(i, j )右乘 A=(aij), 得: ? 第 i 列 ? 第 j列 相当于把 A的第 i 列与第 j 列交换 ( ci ? cj ). 例3 求 解 例 若 求 A.