第4章部分解答.docVIP

第四章自测题 1．判断题： (1) 若非齐次线性方程组的导出组只有零解，则有唯一解．（ 　 ） 解：不对，是否有解取决于是否等于. （2）若非齐次线性方程组的导出组有无穷多个解， 则也有无穷多个解. （ ） 解：不对，是否有解取决于是否等于. (3) 若非齐次线性方程组有解，则它有唯一解的充分必要条件是它的 导出组只有零解． 　　（ 　 ） 分析：根据解的性质知道，上述结论对. （4）非齐次线性方程组解的线性组合仍然是其解. （ ） 分析：根据解的性质知道，上述结论不对. （5）若非齐次线性方程组有解，则它要么有惟一解，要么有无穷多个解.（ ） 分析：根据解的性质知道，上述结论对. （6）矩阵经过初等行变换变为矩阵，则齐次线性方程组和同解.（ ） 分析：根据初等行变换的性质知道，上述结论对. （7）矩阵和矩阵均为阶方阵，且， 则矩阵的每一个列向量都是的解向量. （ ） 分析：把矩阵按照列进行分块，根据解的定义知道，上述结论对. 2．填空题： (1) 设方程组 基础解系为和，则方程组 的基础解系为 ． 解:根据解的性质，应填，. （2）设为3阶方阵，，且非齐次方程组有解， 则有 （惟一、无穷多个解），解向量组的秩为 . 解:根据解的性质，应填无穷多个解；解向量组的秩为3-2=1. (3) 设个列向量均是非齐次方程组的解， 若也是的一个解，则常数 　　 ． 解:根据解的定义，应填1. (4) 设为矩阵，方程组以 和为其基础解系，则 ． 解：根据解的结构定理，应填2. (5) 已知3阶非零矩阵满足，则的秩 ． 解：的秩为2. （6）设均为阶非零方阵，且，则 ． 解：的秩小于. 若，则可逆，由，可知，矛盾. 于是. 也可以利用方程组的理论讨论. （7）设阶方阵的各行元素之和为零，且，则线性方程组 的通解为 . 解：注意到，，根据解的结构定理，通解为. 3.选择题： （1）设是非齐次线性方程组的一个解， 是其导出组的基础解系，则（ ）. A．线性无关 B．线性相关 C. 的任意线性组合都是的解 D. 的任意线性组合都是的解 解：根据解的结构定理或者练习题5，应填A. （2）非齐次线性方程组，其中，则（ ）. A．时，方程组有解 B．时，方程组有惟一解 C. 时，方程组有解 D. 时，方程组有无穷多解 解：根据解的结构定理和矩阵秩的性质，应填A. 事实上，时，注意到（？），于是， A正确. （3）要使都是线性方程组的解，只要系数矩阵为（ ）. A．； B．； C．； D． 解：根据解的结构定理，应填A. (4)设有齐次线性方程组和，其中均为矩阵，现有四个命题： ⑴ 若的解均是的解，则 ⑵ 若，则的解均是的解 ⑶ 若与同解，则 ⑷ 若，则与同解 以上命题中正确的是（ ） A．⑴,⑵ B．⑴,⑶ C．⑵,⑷ D．⑶,⑷ 解：显然“若，则与同解”不对，排除C和D， 从而“若的解均是的解，则”对，这样“若与同解，则” 正确，选B. （5）设均为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分条件是（ ）. A．矩阵的列向量组线性无关 B．矩阵的列向量组线性相关 C．矩阵的行向量组线性无关 D．矩阵的行向量组线性相关 解：把矩阵按照列分块，知道其列向量组线性无关，选A. 补充： （1）设是阶方阵，则线性方程组一定有解; （ ） 解：对.这是因为一定有零解. （2）设是阶方阵，，则非齐次线性方程组一定无解; （ ） 解：不对，是否有解取决于是否等于. （3）若，其中可逆，则 ； （ ） 解：对.这是因为初等变换不改变矩阵的秩，即若可逆，则. （4）设是阶方阵，则; （ ） 解：对.因为，根据矩阵的秩的性质，得 . （5）矩阵方程 有解的充要条件是 ； （ ） 解：不对，有解的充要条件是. 4.求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系. 解：，利用初等行变换，则 ， ，有无穷多解，且原方程组和同解. 于是. 5.已知是方程组的两个解，求此方程组的通解. 解：由于方程组有两个解，从而，齐次方程的基础解系中仅含有一个向量， 注意到是齐次方程的非零解， 于是的通解为. 6．试讨论a,b为何值时，下列方程组 有唯一解？无解？无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出它的全部解． 解：，利用初等行变换，则. 当时，，有唯一解； 当时，，无解； 当时，，有无穷多解，且 ，原方程组和同解. . 7. 设阶矩阵满