拟交换半群的极大理想.pdfVIP

第8卷 第22期 2008年 11月 科 学 技 术 与 工 程 V0l_8 No．22 NOV． 2008 1671—1819(2008)22—6080—03 ScienceTechnologyandEngineering ④ 2008 Sci．Tech．Engng． 拟交换半群的极大理想 孟 玲 丁 霞 (山东工业职业学院，淄博 256414) 摘 要 研究了拟交换半群的极大理想与幂等元之间的联系，同时还给出了 一半群的等价刻划。所得结果推广 了M．Saty· anarayana和 BowlingGreen所给出的一些结果。 关键词 拟交换半群 极大理想 一半群 素理想 中图法分类号 0152．7； 文献标志码 B 拟交换半群，所以一定存在 r∈Z ，使 s口=orq。由 n=ya得 nS yas，即XStl=ysa。因为 s口是可消 1 概念与引理 元 ，所以 =Y。故 n右可消。 由(1)(2)知 0是可消元，这与 0∈D矛盾。故 设s是半群，若对任意的o，b∈S，存在r∈Z ， s口∈D，这样 ，D是 ．s的左理想。因为 ．s是拟交换半 使 ab=bra，则称S是拟交换半群。对于拟交换半群 群 ，民以D是S的理想 。 而言，它的左理想，右理想，理想是一致的。设 4是 下面证明 是Js的素理想。设ab∈D，如果Ct岳 半群 5的理想，如果xy∈A，暮A，则有 Y∈A，则称A D且b售D，则 口，b都是可消元。若对任意的 ，Y∈ 是 ．s的素理想。显然半群 5是 自身的一个素理想。 S，有 (ab) =(ab)Y。则 由CI．，b的可消性得 =Y。 设 ．s是半群，若对任意的n，b∈S，存在 n∈Z ，使 因此 口6左可消。同理，口6右可消。故 n6是可消 n∈SbS，则称5是阿基米德半群。设 A是拟交换半 元，这与 ab∈D矛盾。所以D是5的素理想。 群5的理想，如果 =S，那么A：S，则称 5是 一半 引理2 拟交换半群 ．s不含真素理想当且仅当 群。本文研究了拟交换半群的极大理想与幂等元 5是阿基米德半群。 之间的联系，同时还给出了 ．半群的等价刻划。对 证明 设 口，b∈S，令 ，=SbS。显然 ，是 S的理 于极大理想，理想的根等定义，读者可参考文献 想。因为 ．s不含真素理想，√，=S。因此存在 rt∈ [1—5]。 z ，使 口∈，=SbS。故 Js是阿基米德半群。 引理 1 设 s是拟交换半群，D表示 5中所有 反之，设 5是阿基米德半群。若 S含有真素理 不可消元构成的集合，若D≠ ，则D是5的一个素 想P，则存在o∈S＼P。取b∈P。因为．s是阿基米德 理想。 半群，所以存在 n∈Z ，使 口∈SbS ．s P。从而 证明 任取0∈D，s∈S，如果sn D，则50是可 o∈P，矛盾。故 ．s不含真素理想。 消元。 (1)对任意的 ，Y∈S，如果OX：ay，则 s0 = 2 主要结果 say。由SO,的可消性得 =Y。故 口左可消。 (2)对任意的 ，Y∈S，如果 n=ya。因为 Js是 定理1 设 S是一个拟交换半群，且 S≠D，则 下列陈述是等价的： 2008年 8月 l8日收到