双根法是优化解析几何运算的又一利器.PDFVIP

双根法是优化解析几何运算的又一利器 蓝云波 （广东省兴宁市第一中学，514500） 解析几何历来都是高考中的重点和难点，由于其方法巧妙，运算复杂，故常令人望而生畏.特别 是涉及繁冗运算的圆锥曲线综合解答题，即使学生在思路顺畅的情况下，都难于得出结果.因此，如 何提高解析几何的运算能力变得至关重要.要解决解析几何中的复杂运算，算理就显得非常重要.如 常见优化解析几何运算的方法有：利用圆锥曲线的定义、巧设直线方程、利用参数方程、运用点差 法、合理利用平面几何知识等等，本文提供另外一种优化解析几何运算的方法——双根法，它在解 决一类圆锥曲线问题中常能达到化繁为简、举重若轻的效果. 我们知道，二次函数有三种形式，分别是一般式、顶点式、双根式.其中双根式可以把一般式 2 表示为  ， 为方程 2 的两根. y ax bxc(a0) y a(xx )(xx )a0 x ,x ax bxc0 1 2 1 2 对于双根式的应用，笔者通过翻阅大量资料发现，其应用大都仅仅局限于二次函数方面，似乎不能 在其他方面发挥功效，笔者又在知网上有哪些信誉好的足球投注网站双根法的文章，也不能看到其他方面的应用，似乎甚少 人研究.但事实上，双根法还可以有更精彩的应用.笔者下面通过几道近几年的高考题为例，谈谈它 在优化解析几何运算方面的应用.现分析如下，供大家参考. 例 1 （2012年高考重庆卷第20题）如图所示，设椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，上顶点 O x 为 ，左、右焦点分别为 ，线段 的中点分别为 ，且△ 是面积为 的直 A F,F OF,OF1 2 B ,B ABB 4 1 2 1 2 1 2 角三角形. （1）求该椭圆的离心率和标准方程； （2）过 作直线 交椭圆于 两点，使 ，求直线 的方程. B1 l P,Q PB QB2 2 l 分析：本题是一道典型的直线与圆锥曲线的综合解答题，通常的做法是联立直线与圆锥曲线的 方程，利用韦达定理消元解决.结合本题，问题的关键是解决PB QB2 2 这个条件转换为向量的数 量积为零之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂. 2 5 x y2 2 传统解法：（1）该椭圆的离心率e ，标准方程为  1； 5 20 4 （2）由（1）知    .当直线 垂直于 轴时，显然不成立. B 2,0,B 2,01 2 l x       当直线 不垂直于 轴时，可设其方程为 . . l x y k x2 P x ,y ,Qx ,y 1 1 2 2   y k x2,  2 2 2