对球曲面采用等积投影法建立平面直角坐标系的探讨2.docVIP

对球曲面采用微分弧段等积投影法建立平面直角坐标系 的探讨和实际运用 本文发表于《地球》2016年第9期 [摘 要]本文主要探讨了对地球表面如何采用微分弧段法建立等面积投影平面直角坐标系，用虚拟经线投影的方式叙述了此模型的方向和长度变形，举例说明了在此坐标系下大圆航线方位角和航程计算。 [关键词]地图投影 等积投影 微分弧段 大圆航线 航向角 [中图分类号]P282.1 [文献标志码]B 自从人类社会迈入现代文明以来，随着建筑业和交通运输业的不断发展，人们发现越来越需要将地球表面上的点位精准地化算到平面上，也就是所谓的地图投影，特别是在世界各国经济文化交流频繁的当代，全球范围内的航空、航海活动及国土和城市规划、城市路网布局等都离不开地图的使用。在众多地图投影中，高斯投影完美地解决了球曲面等角投影的问题，但由于球曲面的特性决定了采用等角投影就无法做到等积投影，所以该投影对国土规划或超大型城市建设存在微小不足，对此本文浅略地探讨了如何采用微分弧段等积投影法建立平面直角坐标系。 1.1 微分弧段等积投影直角坐标系概述 先将地球按两相互垂直的经度划分为4个1/4球面。再采用微分法对每个1/4球面进行微分，具体方法是沿1/4赤道弧长方向将地球表面分作n（n→∞）个半圆柱体，每个半圆柱体底边都垂直于赤道平面，第一个微分截面与地球某经线重合，将该经线称作起分子午线，每个半圆柱体侧面对应一段地球表面，再将每个半圆柱体沿母线方向展开，得到一标准长方形，同一截面下的短边（即半圆柱体的高）与不同纬度弧长相等；长边与垂直于赤道的球曲线弧长相等。再将展开后的n个长方形进行累加，即对展开图形进行积分，积分后的图形面积与1/4地球表面积相等,如图1-1所示。 图1-1a 图1-1b 1.2 微分弧段等积投影模型分析 1.2.1 建立等积投影微积分模型 根据本文1.1节对微分弧段等积投影的设想可知，沿1/4赤道弧长方向将该球面分割成若干个半圆柱体，每个半圆柱体都与赤道平面垂直，从起分到结束，∵半圆柱体个数，∴，∴赤道平面对应弧长，为简化计算此处暂将地球视作标准圆球，∴与赤道平面垂直的微分截面半圆柱体高度，如图1-1a所示，∵为常数,∴时，；该微分截面半圆形周长（即微分截面半圆柱体底边周长），，每个微分截面半圆柱体沿母线展开后都是一标准的长方形，长边为，短边为；每个长方形的面积，即：，对该微分方程两边同时求积分，可得到微分半圆柱体展开后图形的面积，其具体计算如下： 根据以上计算，可将1/4球面点对点一一投影到二维平面上，就得到了图1-1b的图形。 1.2.2 等积投影微分方程验算 设1/4球面沿其赤道方向是可微的，所以第一个微分截面的圆心角，由图1-1a可知，∴，，按三角函数求和公式展开后得，∵，∴，，∴，∴，∴。∴，当时，，∴，又因为时，（即第一截面圆心角与第二截面之间的微分角为等价无穷小），∴微分截面半径差与微分弧长之比为：，分子部分按三角函数半角公式展开后得，分母部分改写为，∴，根据夹弧准则可知，∴，∵，∴，∴是比高阶的无穷小，记作。所以各微分截面半圆柱体侧面积可表达如下： ...... 当时，是比高阶的无穷小，∴是比更高阶的无穷小，记作，根据极限运算法则可知：常数与无穷小的乘积仍然为无穷小；∴以上算式前4项可以直接省略后半部分的高阶无穷小。对于通项式而言，∵，∴,故此通项式不能直接省略后半部分，现对通项式作如下证明： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为固定常数， ∴，为不依赖于的常数； ∴，又∵时，； ∴ 同理可知是比高阶的无穷，所以通项式，可写作，故仍可直接省略后半部分的高阶无穷小，得到。∴，∵，∴，当时，，；当时，，；所以根据夹弧准则可知：，，所以可对作如下计算： 根据夹弧准则可知，当时，，所以上式可写作，对通项式来说，其任意两相邻值之差正好相差一个高阶无穷小，所以前式可写作。在该方程中，∵为常数,又 ∵，函数在区间上有界，即，∴是不依赖于的常数，记作A，所以方程可写作，其中A为不依赖于的常数，将记作，∴时，；所以根据微分定义可知1/4球面沿赤道弧长方向是可微的[2]。 1.3 用地球长短半径对等积投影微分方程进行修正 由于地球是两极略扁中间突出的椭球体，长半径a=6378137m，短半径b=6356752m[3]；所