关于剩余类环的扩展的研究_图文.pdfVIP

数 学 年 刊 2017，3SA(1)：53—72 DOI：10．16205／j．cnki．c3xna．2017．0006 关 于剩余 类环 的扩 展 的研 究 木 许 扬 提要 作者对非结合环给出扩展的概念，即给定 2个非结合环 A和 B，对任一非结合环 R，称 R是 A被 B 的扩展，当且仅当A是 R 的理想且 R／A B．对非结合环的扩展，文中证明了一个类似 于Schreier群扩张定理的结果．作为应用，对给定的自然数 m ≥2，n≥2，文章刻画了模 n的剩余 类环 被模 m 的剩余类环 Z 扩展所得到的有限环 R的构造，证明了R可以用满足一定条件的 自然数对 (u，r)来描述，同时写出了R的理想和单侧理想的具体形状．作者还进一步证明，R是结 合的当且仅当 R=2 0z ，且当R= 0z 时，R的每个理想都是 Z 的一个理想与 zm的 一 个理想的直和，即此时R的理想是相对平凡的． 关键词 非结合环，剩余类环，扩展 MR (2ooo)主题分类 17A01，17A60 中囝法分类 O153．3 文献标志码 A 文章编号 1000-8314(2017)01—0053-20 1 引 言 给定 2个群 日和 G，对任一群 L，称 是 日被 G的扩张，当且仅当HqL并且 ／日 G．1926年，Schreier[】给出了群扩张定理．具体地说，给定一对 扩“张函数对’ (，，)，其中f：GXG— H，OL：G— Aut(H)(H的自同构群)，满足f(1a，1G)=1H，并 且V(x，Y，)∈GXG×G，Vh∈H，下面2个等式成立： f1(f(Y，z))，(，yz)=f(x，y)f(xy，z)， (()。 ())(h)=f(x，y)off )(h)f(x，)_。． 考虑集合 H ×G和其上的二元运算 O V(h，)，(后，Y)∈HXG：(h，)o(，Y)=(^f)(k)f(x，)， )， 那么 (HXG，o)做成群， (1H，1G)是幺元， H H ×{1G)q(HXG，o)，并且商群 (HXG)／(H ×{1G}) G，从而 (H ×G，o)是 日被 G的扩张．反之，任给一个群 ， 是 被 G的扩张，则存在扩张函数对 (fl，OZ1)(满足前述等式)，使得从 (fl， )出发，按 上述方法，可以在H ×G上定义二元运算 “·”，使得 (H ×G，·) L，且同构映射限制在 日上是恒等映射 (对任一h∈H，将 h与 (h，1G)∈HX{1G)等同起来看待)．这就说明了 研究 日被 G的扩张与研究满足上述等式的扩张函数对 (f，)是一致的． 本文对非结合环进行类似的讨论．借助群扩张的术语 2【】．给定2个非结合环 和B， 对任一非结合环 R，称 R是A被B 的扩展，当且仅当4是R的理想且 R／A B． 首先，在第 3节给出类似于 Schreier群扩张定理的结果 (见定理 3．1—3．2)．给定2个 非结合环 和M 后，定理3．2的主要 内容是：任给映射四元组 (g，f，一，一)，其中 g：M ×M — } ． f：M ×M ． 本文 2015年 3月20日收到，2016年 2月 3 日收到修改稿． 复旦大学数学科学学院，上海 200433．Email：08300180017@fudan．edu．an 本文受到国家 自然科学基金 (No的资助． 54 数 学 年 刊 38卷 A辑 ：M ×K — }K ． L_：K ×M ． 并且 (g，f，一，一)满足一些附加条件．在 K ×M 上定义2个二元运算 +和 o v(a，)，(b，V)∈K ×M ：(a，)+(b，V)=(a+b+9(ti，u)，乱+V)， (a，乱)o(b，V)=(ab+a—v+钆一b+f(u，u)，tis)， 得到代数结构 (K ×M，+，o)．我们先给出 (K