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点的存在性问题----------动点形成等腰三角形1 1、（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3）， 且抛物线与y轴交于点B（0，2）.（1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上 存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P是x轴上任意一点，则当最大时，求点P的坐标. 2、（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 3、（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 4、2013上海虹口模拟（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 在Rt△ABC，∠A=90°，AB=6，AC=8，点为BC的中点，⊥BC交AC于，点P为AB上一动点，点Q为边C上一动点，且∠PQ=90°． （1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 5、（2013上海奉贤二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8， 点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．写出与之间的函数解析式，并写出定义域；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为。 由题意得 ，解得。 ∴物线的解析式为，即。 （2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则 PA=，PB=，AB= 当PA=PB时，=，解得； 当PA=PB时，=5，方程无实数解；当PB=AB时，=5，解得。 ∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（-1,0）或（1,0）。 （3）∵PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得的最大值，这个最大值等于AB， 此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为，则 ，解得。∴直线AB的解析式为， 当=0时，解得。∴当最大时，点P的坐标是（4，0）。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。 【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。（2）分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。（3）求得PA－PB最大时的位置，即可求解。 【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。 由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4。 ∴点C的坐标为（4，0）。 （2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为， 将A（0，2）代入，得，解得。 ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。 ∵，∴抛物线的对称轴为。 （3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。 ∵点P（m，n）在上， ∴P。 ∴， ，。 ∴ 。 ∵，∴当时，S最大。 当时，。∴点P的坐标为（2，3）。 （4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。 【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得，从而求出点C的坐标。（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。 另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。 由点P在和可得。 ∴，整理，得。 要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的△＝0，即，解得。 将代入得，将代入得。∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。 （4）设点M（）， ∵C（4，0）, P（2，3）