微分中值定理及其证明及应用.docVIP

定理及其证明 费马定理：设在的某邻域内有定义，而且在这个领域上有（其中为局部最大值）或者（其中为局部最小值），当在处可导时，则有． 证明：因为假设存在，由定义可得左导数和右导数均存在且满足： 当时，，所以 当时，，所以 所以 以上是对于这种情况进行的证明，同理也可证明这种情形 罗尔定理：设在上连续，在上可导，若，则必有一点使得． 证明：分两种情况，若为常值，结论显然成立．若不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间上的连续函数具有最大值和最小值）可知，必在内某一点处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，． 拉格朗日中值定理：设在上连续，在上可导，则一定有一点使． 证明：分两种情况，若恒为常数，则在上处处成立，则定理结论明显成立．若在不恒为常数时，由于在上连续，由闭区间连续函数的性质，必在上达到其最大值和最小值，有一种特殊情况时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，．做辅助函数．由连续函数的性质及导数运算法则，可得在上连续，在上可导，且，这就是说满足刚刚的特殊情况，因此在内至少有一点，使得．即．定理得证． 柯西中值定理：若和在上连续，在上可导，且，则一定存在使． 证明：首先能肯定，因为如果，那么由拉格朗日中值定理，在内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数．由，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立． 泰勒中值定理：若在点的某个邻域内有直到阶连续导数，那么在此邻域内有．其中．是介于与之间的某个值． 证明：做辅助函数．由假设容易看出在或上连续，且，， 化简后有．在引进一个辅助函数． 对函数和利用柯西中值定理得到，是介于与之间的某个值，此时有，，，，，，代入上式，即得． 定理证明完毕． 这是函数在点的泰勒公式，同理推导可得在点附近的泰勒公式 ．其中．是介于与之间的某个值． 定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理. 应用 （判别函数单调性、求不定式极限、证明不等式和等式、证明终止点的存在性、证明方程根的存在性与唯一性、利用泰勒公式求近似值） 证明方程根的存在性 把要证明的方程转化为的形式.对方程用下述方法： 根的存在定理若函数在区间上连续，且，则至少存在一点，. 若函数的原函数在上满足罗尔定理的条件，则在内至少有一个零值点. 若函数的原函数在处导数也存在，由费马定理知即. 若在区间上连续且严格单调，则在内至多有一个零值点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则无零值点，若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则有一个零值点. 用泰勒公式证明根的存在性. 反证法. 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性. 例1 若在上连续，在内可导，证明：在内方程至少存在一个根. 证明：令 显然在上连续，在内可导，而且 根据罗尔定理，至少存在一个，使 至少存在一个根. 证明不等式 不等式是数学中的重要内容和工具。在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用. (1) 拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数（值）的不等式 (2) 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式. 例2 求证 分析：根据不等式两边的代数式选取不同的,应用拉格朗日中值定理得出一个等式后,对这个等式根据取值范围的不同进行讨论,得到不等式. 证明：当时，显然 设对在以1与为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，有介于1与之间的，使 , 即 当时，，， 但此时注意与均为负值，所以仍有， 即对不等式恒成立. 当时，，，所以有. 注：学会把隐藏的条件找出来，即，然后就可以利用定理，这个结果以后可以作为结论用. 例3 证明当时， 证法一 分析：要证成立，只要证  成立，只要证 成立，只要证 成立，只要证 成立， 证明：设  由在上连续，在内可导,且 ，知在上严格递减， 由，即成立，知成立， 即 成立，所以成立. 证法二 证明：要证，只要证 成立 (1) 设 ，由在上连续，在内可导, 且于是 ， 即 故原式成立. 注：证明某些不等式时，可转化为区间两端点函数值大小的比较或化为右边为0的不等式，转化为区间内任意一点函数值与端点函数值或与趋于端点极限值的比较，然后利用单调性证明.能用单调性定理证明的不等式，都可用拉格朗日中值定理证明，因为单调性定理就是拉格朗日中值定理证明的.相同的一道题可以有多种解法. 讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值 利用拉格朗日中值定理能够很方便的