中职数学探究不等式结构及其证法教案.docVIP

探究不等式结构及其证法 　　不等式的证明方法多、技巧性高，难度大，但也并非无章可循。事实上任何一个不等式都是建立在其定义与基本性质上，并通过代数变换而来。而这种演变本身就存在着规律，这种规律往往隐含在不等式的结构中，因此，从不等式的结构出发，并对其进行深入剖析往往可以发现证题途径，以下例举几种。 　　一、可代换结构 　　这类结构往往可通过换元来简化运算。 　　例1求证：。 　　分析：所证不等式等价于。若令，，且能证得便可证得原不等式成立。 　　证明：令，，则，且。 　　即，，即 　　，，， 　　。 　　例2已知，求证：。 　　分析：显然均正，注意到即 　　，故可作三角代换。 　　证明：由知均为正数，且，设 　　，代入， 　　得左边＝右边。 　　评注：这实际上已证明了更强不等式：对有。 　　二、派生结构 　　例3已知，求证：。 　　分析：欲证：，可转证： 　　，即证： 　　，这显然由基本不等式 　　派生而来，故可由此不等式出发稍加变形即 可证明。 　　证明：略。 　　三、对比结构 　　例4求证：。 　　分析：右式是，其通项为。左式是个因式之积，其通项，对左、右两式通项进行对比，由题知，容易知。 　　证明：，，即，，令得：，，，。 　　将以上个不等式相乘得：， 　　。 　　四、函数结构 　　例5求证：。 　　分析：左、右两边的结构都是的形式，因而想到引进函数。 　　证明：易知时，为增函数，且，故得 。 　　评注：这里的连续放大也体现了不等式证明中常用的技巧：放缩法。 　　例6设为绝对值小于1的实数，求证：。 　　分析：将左边变形为，故可视为函数结构。 　　证明：设（特别地，当时，为常数函数），其图象是一条不包括端点的线段，于是或，然而，因，故 　　， 　　， 　　。 　　五、递推结构 　　如果题目的条件是以递推关系给出的，而数列的通项公式又不易求得，对这样的不等式证明，数学归纳法是常用的有效方法。 　　例7已知数列且。 　　求证：。 　　证明：设，易知时，为减函数。∴当时，。从而有：当时，。 　　我们先证明。 　　1°当时，，即结论成立。 　　2°设时结论成立，即，亦即。则 　　，即当时结论仍成立。 　　由数学归纳法知对结论均成立。,从而。 　　再证。,即,,因此。 　　由上可知：用数学归纳法证明递推结构型的不等式，思路单纯，直接，值得提倡。但这并不等于说，它是论证这类不等式的唯一方法，对某些题只要能仔细观察，有时还是能找到简捷方法的，象累加与迭乘便常用到。 　　例8已知数列，且有。 　　求证：。 　　证明：，，则，于是有： 　　，同理： 　　，，……， 　　。将上面几个不等式相乘，得，。 　　六、类分结构 　　对于类分结构的不等式，我们可以用枚举归纳法或穷举否定法予以证明。 　　例9已知，，，求证：。 　　证明：（1）若，，，， 　　，，。 　　（2）若，则，又，，， ，又，，，。 　　（3）若，则，，， 　　，又， 　　，。 　　由于类分法是枚举归纳和穷举否定的基础，因此有些类分结构的不等式用穷举法证明亦很方便。 　　例10若，且是实数，试证：。 　　证明：（1）（反证）若，则，由得，即，，与矛盾。不成立。 　　（2）若，则，由得： ，即，，故不可能。亦不可能。 　　由（1）、（2）得。 　　七、可分解式结构 　　例11求证：。 　　分析：此不等式左边虽是积式结构，但不能直接放缩某些因式得证，但我们若将其转化为可分解的和式结构，再利用算术平均值与几何平均值之间的关系，证明就不困难。 　　证明： ,先证。，， ， 。 　　综上所述，不等式证明涉及代数，三角等各方面知识和数学方法，是中学数学的难点，但只要合情合理地分析不等式的结构特点，挖掘结构元素的内在联系，这个难点不但能够突破，而且在突破的过程中，知识得到贯通，引伸与扩充，有助于启发思维，培养联想、探究、归纳推理能力。 2