中职数学（人教版）： 函数的应用教学教案.docVIP

第08讲 函数的应用 （一）知识归纳： 1．对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量； 2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式； 3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示： （二）学习要点： 解决函数应用问题应着重培养下面一些能力： 1．阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； 2．建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； 3．求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。 [例1]A地产汽油，B地需要汽油，汽车直接从A地往B地运汽油，往返所需要的油耗正好等于其满载汽油的吨数，故无法直接将汽油运到B地。今在途中C地设一中转站油库，先由往返于C、B之间的汽车将汽油运至C地，然后由往返于C、B之间的汽车将汽油运至B地，且各辆车往返油耗从各自所载汽油中扣除。 设，问当d等于多少时，运油率？ 根据B地的需要，总共投入15辆运油车运油，此时又将怎样组织运输？ [解析]题中P是d的函数，但由于问题涉及的量比较多，应该设好辅助参数， 设往返于A、C间的汽车有x辆，往返于 C、B间的汽车有y辆，每辆运油a吨，则 ①A地运出的油为ax吨， ②C库收到的油为吨， ③C库运出的油为吨， ④B地得到的油为吨， 为使B地得到尽量多的汽油，则C库收到的汽油应及时全部运出， 故，油库C应设在AB的中点处才能使运油率最大，且往返于A、C之间的运油车为10辆，往返于C、B之间的运油车为5辆。 [评析]在例1的解答中，抓住②、④两个等量关系是建立函数关系的关键。 [例2]在边防沙漠地带巡逻车每天巡逻，每辆巡逻车可以装载供行驶2800公里的汽油.现有5辆巡逻车，同时从驻地出发，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻（然后再一起返回驻地），甲、乙两车行驶至B处后，仅留足自己返回驻地所必需的汽油，将多余的汽油供给另外三辆车使用. 求另外3辆车可行驶的最远距离是（距驻地）多少公里？ [解析]因为另外3辆车行驶的距离是随着B地（距驻地）的距离的变化而变化，所以应将另外3辆车行驶的距离y看作B地离驻地的距离x的函数. 作出一个行程示意图（其中A表示驻地，C是另 3辆车到达的最远处），很容易看出甲、乙两车共来回走 了4个“x”公里，另外三辆车来回共走了6个“y”， 根据命题分析，应抓住“耗油量”与“载油量”这两个关键量来建模， 为达到最远，五辆车返回驻地时所载的汽油应全部耗尽，∴五辆车的总行程为 2800×5公里， 但不能忘了考察函数的定义域，应抓住“载油量”， 巡逻车行驶至B处后，另外三辆从甲、乙两车得到的汽油与自己油箱内剩余的油的总 和不能超过油箱的载油量， 在定义域内为减函数，∴ [评析]在命题的解题过程中，由于采用了图示，加快了阅读理解的速度，而更关键的是抓住了两个相等关系分别建立了函数的解析式与求得函数的定义域，在函数模型时又抓住了单调性. [例3]鱼场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量. 已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率立方的乘积成正比，比例系数为k（k0），（注：空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）， （1）写出y关于x的函数关系式，并求出这个函数的最大值； （2）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围. [解析]（1）∵x（吨）为实际养殖量，∴空闲量为（吨），∴空闲率为 且的值在处左正右负， （另解） 等号成立时， （2）∵实际养殖量与增长量的和不能超过最大养殖量， [评析]准确理解问题中的每个概念的意思是建立函数模型的关键，特别是对问题中出现的新“词汇”要揣摩透它的确切意义. [例4]20个劳力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花和水稻，如果种这些作物，每亩所需劳力和预计的产值如表所示： 作物 每亩需劳力 每亩预计产值 蔬菜 0.6万元 棉花 0.5万元 水稻 0.3万元 问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有劳力都有工作，而且农作物预计产值最 高？ [解析]设种植蔬菜x亩、棉花y亩、水稳z亩， ∴总产值①， 解得①得 即②， ∴由②知，当最大, ，即蔬菜种20亩，棉花种30亩，水稻种0亩. [评析