B样条曲线和曲面.pptVIP

* 3.1.2 B样条曲线和曲面 　在我们工程中应用的拟合曲线，一般 　地说可以分为两种类型：一种是最终 　生成的曲线通过所有的给定型值点， 　比如抛物样条曲线和三次参数样条曲 　线等，这样的曲线适用于插值放样； 　另一种曲线是，它的最终结果并不一 　定通过给定的型值点，而只是比较好 　地接近这些点，这类曲线（或曲面） 　比较适合于外形设计。 　因为在外形设计中(比如汽车、船舶)， 　初始给出的数据点往往并不精确；并 　且有的地方在外观上考虑是主要的， 　因为不是功能的要求，所以为了美观 　而宁可放弃个别数据点。因此不须最 　终生成的曲线都通过这些数据点。 　另一方面，考虑到在进行外形设计时 　应易于实时局部修改，反映直观，以 　便于设计者交互操作。第一类曲线在 　这方面就不能适应。 　 　法国的 Bezier 为此提出了一种新的 　参数曲线表示方法，因此称为Bezier 　曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 　和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 　 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。 　一、Bezier曲线 　Bezier曲线的形状是通过一组多边折 　线（特征多边形）的各顶点唯一地定 　义出来的。在这组顶点中： 　(1) 只有第一个顶点和最后一个顶点 　在曲线上； 　(2) 其余的顶点则用于定义曲线的导 　数、阶次和形状； 　(3) 第一条边和最后一条边则表示了 　曲线在两端点处的切线方向。 　１.Bezier曲线的数学表达式 　 Bezier曲线是由多项式混合函数推导 　出来的，通常 n+1 个顶点定义一个 n 　次多项式。其数学表达式为： (0 ≤ t ≤ 1) 　式中：Ｐi：为各顶点的位置向量 　　　　Ｂi,n(t)：为伯恩斯坦基函数 　伯恩斯坦基函数的表达式为：　 　 　假如规定：０?＝１，０！＝１，则 　t=0:　i=0 ,Bi,n(t)=1 　　　　i?0 ,Bi,n(t)=0 　?P(0)=P0　 　 　 　t=1:　i=n ,Bi,n(t)=1 i?n ,Bi,n(t)=0 　?P(1)=Pn 所以说，“只有第一个顶点和最后一个 顶点在曲线上”。即 　　Bezier曲线只通过多边折线的起点 　和终点。 　下面我们通过对基函数求导，来分析 　两端切矢的情况。 　 　　 　 　得： 　 　讨论： 　 　 　t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。 i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。 i?2: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=0。　 　　　　 （均出现 0 的非 0 次幂） 　 　?t=0 　 　同理可得，当 t=1 时 　这两个式子说明：Bezier曲线在两端 　点处的切矢方向与特征多边形的第一 　条边和最后一条边相一致。 　２.二次和三次Bezier曲线 　 　(1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 　二次(n=2) Bezier曲线： 　其相应的混合函数为： 　 　所以，根据式： 　 　二次 Bezier 曲线的表达形式为： 　P(t)=(1-t)2?P0+2t(1-t)?P1+t 2 ?P2 　　　　　（０≤t ≤ 1) 　根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 　论二次 Bezier 曲线的性质： 　 P(t)=(1-t)2?P0+2t(1-t)?P1+t2 ?P2 　 P’(t)=2(t-1)?P0+2(1-2t)?P1+2t?P2 　P(1/2)=1/2?[P1+1/2?(P0+P2)] 　P?(0)=2(P1-P0) 　P?(1)=2(P2-P1) 　P?(1/2)=P2-P0 二次 Bezier 曲 　线是一条抛物线 　(2)　四个顶点 P0、P1、P2、P3 可 　定义一条三次 Bezier 曲线： 　*** 　二、B样条曲线 　１.从 Bezier 曲线到Ｂ样条曲线 　(1) Bezier 曲线在应用中的不足： 缺乏灵活性　一旦确定了特征多 　边形的顶点数(m个)，也就决定了曲 　线的阶次(m-1次)，无法更改； 　 控制性差　当顶点数较多时，曲 　线的阶次将较高，此时，特征多边形 　对曲线形状的控制将明显减弱； 　 不易修改　由曲线的混合函数可 　看