7 21可分离变量的微分方程ppt课件.PPTVIP

第二节 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 解分离变量方程 可分离变量方程 分离变量方程的解法: 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G? (y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F?(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. 【例1】求微分方程 的通解. 【解】分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 通解为 【解】 【例2】 【分析】变量代换后,化为可分离变量的微分方程 【例3】 求下述微分方程的通解: 【解】 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 【同步练习】 求 的通解. 【练习】 【解法 1】 分离变量 即 ( C 0 ) 【解法 2】 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 1.可分离变量微分方程的概念 2. 可分离变量方程的求解方法: ［说明］通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据初始条件定常数 . y = – x 及 y = C 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定初始条件. (3) 求通解, 并根据初始条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 【思考与练习题】 1.求解微分方程 2. 求下列方程的通解 : ［提示］ (1) 分离变量 (2) 方程变形为 ［提示］和差化积后,分离变量. 通解为 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37°C按照牛顿冷却定律（物体温度的变化率与该物体和周围介质温度之差成正比）开始变凉。假设两个小时后尸体温度变为 35°C ，并且假定周围空气的温度保持20°C 不变。 (1)求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间 t（以小时为单位）的函数随时间变化的; (2)画出温度——时间曲线； (3)最终尸体的温度如何？用图象和代数两种方式表示这种结果； (4)如果尸体被发现时的温度是30°C，时间是下午4时，那么谋杀是何时发生的？ 【补例1】 【解】 (1) 分离变量得 * *