高中数学学习资料-3.4函数的基本性质2单调性.pptVIP

O x y 思考 : 观察图像， 您发现这个图像有 什么特征? 图像在y轴的左侧从左向右是下降的。 图像在y轴的右侧从左向右是上升的。 3.4函数的基本性质(2) ----单调性 (monotonicity) O x 请您用数量关系来描述上述函数的上升或下降的特征. 思考 : O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y 1、如果对于属于区间I上的自变量的任意两个值x1、x2， 当x1x2时,都有f(x1)f(x2), 那么就说函数y=f(x)在这个区间上是单调增函数.(图示1) (monotone increasing function) 2、如果对于属于区间I上的自变量的任意两个值x1、x2， 当x1x2时,都有f(x1) f(x2), 那么就说函数f(x)在这个区间上 是单调减函数. (图示2) (monotone decreasing function) 增函数与减函数定义 一般地，设函数y=f(x)（x∈D）,区间I D 如果函数y=f(x)在某个区间I上是增函数或减函数, 那么就说函数y=f(x)在这个区间上是单调函数(monotone function)，或具有单调性,这一区间I叫做函数y=f(x)的单调区间(monotone interval). 注：单调区间可以写成开区间， 写成闭区间时，须保证端点值在定义域内 注：函数单调性是针对某个区间而言的，有些函数在整个定义域上没有单调性，但在定义域的某些区间上存在单调性。 证明： （ 任取定义域上两值） （作差） （结论） 你能归纳函数单调性证明步骤吗？ 则f(x1)=2 x1+1, f(x2)=2 x2+1. 判断证明函数单调性 （变形，通常是因式分解和配方） （定号） 证明： 即f（x1） f（x2）. ∴f（x1）－f（x2）0 ， 则f（x1）＝-3x1＋2 ， f（x2）＝-3x2＋2 . f（x1）－f（x2）＝（-3x1＋2）－（ -3x2＋2） ＝-3（x1－x2）， ∵x1＜x2，∴ x1－x2＜0 ， 设x1，x2是 上的任意两个实数， 且x1＜x2， Ex： 例2 判断函数f(x)＝x2＋1在(0，＋∞)上是增函数还是减函数？并给予证明。 解： 函数f(x)＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数。 证明： 设x1，x2是区间（0，＋∞）上的任意两个实数，且x1＜x2， 因此，函数f(x)＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数。 O x y 1 1 研究函数运算后的单调性 问题： 确定函数f(x)= 的单调 区间，并证明。 结论：在公共定义域内 增函数+增函数是 减函数+减函数是 增函数-减函数是 减函数-增函数是 策略：可通过图像观察出单调区间， 再用定义证明 增函数 减函数 增函数 减函数 -5 O x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 -1 -2 练习1、下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图像，根据图像说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数. 解： y＝f（x）的单调区间有： [－5，－2），[－2，1） [1，3），[3，5]. 其中在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数， 在[－2，1）， [3，5）上是增函数. 研究函数单调性，可观察、分析图像初拟单调区间，若要严格证明，则需从定义出发。 单调区间不一定能合并。 求函数单调区间 单调递增区间是： 单调递减区间是： x y 2 1 o （3）函数f(x)=x2 –2x的单调区间是—— （2）函数f(x)= 的单调区间是—— （1）函数f(x)=2x +1的单调区间是—— 练习2 构造一个二次函数，使它在区间[-1，1]上单调递增。 定义 数量特征 y随x的增大而增大.当x1＜x2时，y1＜y2 y随x的增大而减小.当x1＜x2时，y1＞y2 O x y x1 x2 y1 y2 O x y x2 x1 y1 y2 小结： 增函数 减函数 图像 图像特征 自左至右，图像上升. 自左至右，图像下降. 会判断证明简单函数单调性，会求