2014-计算力学-8-等参元.pptVIP

　　实际工程结构中，面力往往是垂直作用在边界面上的，这时的面力向量{q}变成了边界面上的法向载荷。设n表示边界面的外法线单位向量，q0是单位面积上的面力，则n的表达式为 其它表面受到面力作用时，其算法是类似的。 (8-73) 空间等参元 这时，式（6-72）可写成 (8-74) 空间等参元 以上推导的计算等效结点载荷的有关公式中，均因被积函数复杂而必须采用数值积分方法求解。有了单元的等效结点载荷列阵和刚度矩阵，便可组集得到结构刚度方程，再考虑结构的约束条件，求解出离散结构上各结点的位移分量列阵和各单元的结点位移分量列阵。 空间等参元 计算复杂的定积分，通常采用数值积分法。本节介绍有限元分析中常用的一种数值积分方法──高斯积分法。 对于一维定积分问题 所谓数值积分是把定积分问题近似地化为加权求和问题，就是在积分区间选定某些点(称为积分点)，求出积分点处的函数值，然后再乘上与这些积分点相对应的求积系数（又称加权系数），再求和，所得的结果被认为是被积函数的近似积分值。这种求积方法可表达如下 (8-75) 式中：n是积分点的个数，是积分点i的坐标，Hi是加权系数。 高斯积分法简介 高斯积分仍然采用式（8-75）的格式，其中积分点坐标及其对应的加权系数Hi如表8-1所示。 逐次用一维高斯求积公式可以构造出二维和三维高斯求积公式 高斯积分的阶数n，通常根据等参元的维数和结点数来选取。对于平面和空间等参元，可按表8-2选取。 高斯积分法简介 表8-1高斯积分法中的 和Hi 积分点数 n 积分点坐标 加权系数 Hi 2 ±0.5773503 1.0000000 3 0.0000000 ±0.7745967 0.8888889 0.5555556 4 ±0.8611363 ±0.3399810 0.3478548 0.6521452 ? 5 0.0000000 ±0.9061798 ±0.5384693 0.5688889 0.2369269 0.4786287 高斯积分法简介 ? 表8-2 结点数维数 4结点 8结点 20结点 二维 n=2 n=3 ── 三维 ── n=2 n=3 高斯积分法简介 　　作为空间问题参数单元进行计算的实例，分析图8-11中所示的厚壁筒。该筒的内半径a=4m，外半径b=7m，高度l=9m，弹性模量E=10GPa，泊松比 =0.2，容重 =5kN/m3，内外壁上承受的分布载荷的集度q=90kN/m3。 r u b a o 7 z w r u 3 3 3 4 o q q q q 图 8-11 例题的结构图 例： 计算实例 解： 在弹性力学中，对于这一轴对称空间问题的函数解为： 径向位移 轴向位移 径向及环向正应力 轴向正应力 剪应力 　　选用20节点六面体的等参单元进行计算。由于是轴对称的，可以取该筒的1/4，并划分为9个单元，如图8-11所示。 计算实例 由图中看出，所用单元的形态很好，各向棱边的长度近乎相等，棱边的夹角全是直角。棱边上的节点取在棱边的中点。现在，将r=b=7m所计算所得的结点位移和应力列入下表： 0.000 -6.298 -12.595 -18.902 0.000 -6.300 -12.600 -18.900 4.954 52.198 80.549 89.990 4.950 52.200 80.550 90.000 0.000 -30.000 -59.999 - 89.999 0.000 -30.000 -60.000 -90.000 0.000 -75.001 -149.999 -224.998 0.000 -75.000 -150.000 -225.000 有限单元解函 数 解 有限单元解函 数 解 有限单元解函 数 解 有限单元解函 数 解 　表 8-3 计算结果对比 节点的z坐标（m） 0 3 6 9 　　由上表看出，由于采用了高阶等参数单