5.2定积分的性质(1-15).pptVIP

Welcome everyone come to my lesson. 主讲：——数学第二小组 成员：王清娟 李等成 姜传民 徐宁 智明振 烟台汽车工程职业学院车辆运用系 2012级汽车检测与维修（8）班 第五章 定积分 第二节 定积分的性质 * * 下列各性质中的函数都是假设在积分区间上可积的，积分下限未必小于积分上限。由定积分的定义，极限的性质和运算法则，可得定积分的性质1-性质5 性质2 函数和或差的定积分等于定积分的和或差，即 性质 1 证明： 性质3 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 补充 ( 线性运算性质) 若 f (x) , g (x) 在 [a , b] 上可积 , k1 , k2 ? R 是 常数 , 则 k1 f (x) + k2 g (x) 在[a , b] 上也可积 , 且 证明 使 ?xi= xi - xi-1 ; 任取 作和式 取极限有 性质 4 ( 对积分区间的可加性) a,b,c为常数，则 证 明 不妨设 a c b . 因为 f (x) 在 [a , b] 上可积 , 取区间[a , b] 上的划分 P: 若 f (x) 在 [α,β]上可积 , 则对任意 [a , b]? [α,β], f (x) 在 [a , b] 上可积 , 且对任意 a , b , c? [α,β] , 有 由于 P1: 是[a , c ] 的划分; P2: 是 [c , b ] 的划分 , 且当 故有 a b x y o 补充 ( 积分值与积分变量的名称无关 ) 若 f (x) 在 [a , b] 上可积 , 则 a b t y o 补充性质 (1) 若 f (x) 在 [a , b] 上除有限个点外恒为零 , 则 (2) 若 f (x) 在 [a , b] 上可积 , 如果改变 f (x) 的有限个 函数值得 F(x) , 则 性质 5 (定积分的不等式性质) (1) 若 f (x) 在 [a , b] 上可积 , f (x) ? 0 , 则 (2) 若 f (x) , g (x) 在 [a , b] 上可积 , 且 f (x) ? g(x) , 则 设函数f (x) 在区间 [a , b] 上最大值为M,最小值为m,则 性质 6（积分估值定理） 积分估值定理证明 ： 两边取极限 , 得 的选取 , 有 对于 [a , b] 的任意分割及任意的 即 如果函数f(x)在闭区间[a? b]上连 续? 则在积分区间[a? b]上至少存在一个点x ? 使下式成立? 这是因为, 由性质6 性质7(定积分中值定理) ——积分中值公式? 由介值定理, 至少存在一点x?[a, b], 使 两端乘以b?a即得积分中值公式. ò - = b a a b f dx x f ) )( ( ) ( x . 证明 由 f (x) 在 [a , b] 上连续 , 则存在 x1 , x2 使 据估值定理 , 有 若 f (x) 在 [a , b] 上连续 , 则存在 使 ( 积分中值公式 ) 据介值定理 , 存在 使 即 积分中值定理的几何意义: a b x y o 定积分几何意义的再讨论: 如果在[a , b]上 , f (x) ? 0 , 则 即当 f (x) ? 0 时 , 的几何意义表示曲边 梯形 abcd 面积的负值 a b x y o c d 进一步地 , 若 f (x) 在 [a , b] 上有正有负