第章复变函数的积分.pptVIP

本章学习目标 了解复变函数积分的概念; 了解复变函数积分的性质; 掌握积分与路经无关的相关知识; 熟练掌握柯西—古萨基本定理; 会用复合闭路定理解决一些问题; 会用柯西积分公式; 会求解析函数的高阶导数. §3-1复变函数的积分 1、复变函数积分的定义 从积分的定义可以推得，积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的. 所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向. 例1计算 其中 为从原点到点 的直线段。 解 直线的方程可写成 又因为 容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值无论 是怎样的曲线都等于 例2计算 其中 为以 中心， 为半径的正向圆周, 为整数. 解: 的方程可写成 所以 因此 例3 计算 的值，其中 为沿从（0，0） 到（1，1）的线段： 解: 例4 计算 的值，其中 为沿从(0，0)到(1，1)的线段与从(1，0)到(1，1)的线段所连结成的折线。 解: 积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关. 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因为曲线在区域内作连续变形而改变它的值。 积分计算公式 例6 计算 解： 例7 计算 解： 例8 计算 解： 例9 计算 解： 例10 计算 (沿圆周正向) 解 ： §3-6 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数，它的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示。 这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在。 高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而是通过求导来求积分。 §3-6 解析函数的高阶导数 定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为: 其中 为 在函数的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 . 例12 计算 其中 为正向圆周： 解: 定理一 如果函数 在单连域内处处解析，那末积分 与连结从起点到终点的路线 无关. 定理二 如果函数 在单连域 内处处解析，那末函数 必为内的解析函数,并且 §3-4 原函数与不定积分 1、柯西基本定理的几个等价定理 若f(z)是单连通区域D内的解析函数,则由变上限的积分所确定的函数 也是D内的解析函数,并且 §3-4 原函数与不定积分 2、原函数 定义 设在单连通区域D内,函数F (z)恒满足条件 ，则称F (z)是f (z)的原函数. 1、f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 2、不定积分 f (z)原函数的一般表达式F(z)＋c（其中c为任意常数）称为f(z)的不定积分，记作： 定理 若f(z)是单连通区域D内的解析函数, G(z)为f(z)的一个原函数,则 第3章 复变函数的积分 §3-5 柯西积分公式 定理(柯西积分公式) 如果函数 在区域 内处处解析， 为 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 , 为 内的任一点,那末 柯西积分公式 通过这个公式就可以把一个函数在 上任何一点的值,用它在边界上的值来表示。 §3-5 柯西积分公式 如果C是圆周 ，则柯西公式可改写成 柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 例11 计算 (沿圆周正向) 解 第3章 复变函数的积分 §3-6 解析函数的高阶导数 * * 复 变 函 数 西北工业大学航空学院万方义fwan@nwpu.edu.cnTel.第一章 复数与复变函数（2学时） 第二章 解析函数（4学时） 第三章 复变函数的积分（4学时） 第四章 级数（4学时） 第五章 留数（2学时） 第六章 共形映射 主要内容 第3