第章密度矩阵.pptVIP

系统、系综纯态、混态 纯态密度矩阵 混态密度矩阵多系统几率相等 混态密度矩阵多系统几率不等 密度矩阵的主要性质 密度矩阵为厄米矩阵 密度矩阵的物理含义 2、密度矩阵的运动方程 3、二能级原子系统的密度矩阵 元密度矩阵、全密度矩阵 密度矩阵与电极化强度的关系 4、密度矩阵的矢量模型 * * 1、密度矩阵 激活介质包含有大量的原子(或分子或其他微观粒子)。在讨论激活介质辐射场的相互作用时，我们只能给定宏观条件(例如知道气体激光器中的放电电流、气体压强等)。但是宏观条件确定之后，微观运动状态的各种可能性仍然很多，每一个原子可以处于一切可能的微观态，并不能被宏观条件所控制。所以，不能将激活介质当做一个整体而赋于确定的随时间而变化的波函数。这样，即使知道了介质的初始分布，也不可能求出以后某一时刻的波函数。 前言 但是在研究激活介质和辐射场相互作用的宏观性质时，可以利用统计规律性。由于在给定的宏观条件下，激活介质中原子的状态有一固定的初始分布。可以通过求得在给定的时间间隔和给定的空间体积内、原子系统被激发到两个能级中的一个或另一个，并且其速度分量在给定范围内的几率，再对构成激活介质的所有原子系统取平均值来求得介质对辐射场的影响。在这种情况下，即讨论量子力学系综的统计性质时，会涉及到两种平均：一种是按状态的平均，此为量子力学平均；另一种是将此结果再按微观态出现的几率求平均，即为统计平均。当同时涉及到这两种平均时，就可采用密度矩阵的方法来处理。 按统计物理系综的概念，把一个原子看做一个系统，大量的全同系统组成一个系综。若系综内的所有系统都处于相同的微观态?，则此系综为纯系综，纯系综的平均就是态平均。若系综的各系统处于不同的微观态，则此系综被称为混合系综。 假定系综是由N个系统组成，每一个系统由一个归一化的波函数 ? (r, t)描述 (1) 式中un(q)为完备正交归一本征函数系；an(t)为系统处于本征态un(q)的几率振幅。 现在考虑系统的某个物理可观察量F并求出它在系综表示中的最终平均值。首先考虑纯态的情况。这时，可以由量子力学中 所熟悉的方法求得可观察物理量F的平均值。 (2) 式中q为广义坐标，?*为波函数?的复数共轭量。 式(2)的平均是量子力学固有统计性质的结果。 若将式(1)代入式(2)，得 (3) (4) 算符F的矩阵元 令 (5) (6) 从式(5)可以看出，?nm起着几率密度的作用，因此称?nm的集合为密度矩阵，?nm为密度矩阵元。以上就是纯态的密度矩阵。 当系综是由N个系统组成，且N个系统处于不同微观态的几率相同，每一个系统可以用一个归一化波函数来表示。若第k个原子系统的波函数用?k(r, t)表示 (7) 由上面讨论可知，对于第k个原子系统，其物理观察量F由式(2)决定。因为系综是由N个系统组成，则得到系综的可观察量的平均值为 (8) 将式（2）、（7）代入式（8），得： (9) 交换求和次序 (10) ?nm为密度矩阵元 (11) (12) 对于N个系统构成的系综，如果各个系统处于不同微观态的几率不相等，则系综的宏观物理量的平均值就不能用简单的算术平均值而应该用统计平均值来代替。假如，第k个原子系统出现某一状态?k的几率是Pk 系综平均值 (13) ?nm定义为： (14) (15) 只要求得系综的密度矩阵，任何宏观可观察量都可以由式(15)计算 密度矩阵之迹等于1 归一化的波函数 本征函数的正交性 可以得到 密度矩阵之迹等于1。对于由N个系统构成的系综，当各个系统处于不同微观态的几率不相等时，也可以证明Tr(?)=1这一性质。 利用式（1） (1) 表示第k个原子系统处于状态un（或者能级En）的几率，而几率必为正值，所以密度矩阵的对角元满足下式 密度矩阵为厄米矩阵。 从密度矩阵元的定义可知纯态密度矩阵的对角元表示了这个系统处于本征态un的几率。通常．混态密度矩阵的对角元表示系综中的一个系统处于本征态un的平均几率。 非对角元的物理含义可以这样理解，若将第k个原子系统的几率振幅写成复数形式 纯态系统的密度矩阵元?nm，如图所示的复平面上表示。 图中矢量即为?nm，矢量与实轴间的夹角表示系统处于本征态un、um的几率振幅 的乘积的相位差，而矢量的模是由系统处于本征态un、um的几率振幅的乘积所决定。 当系统为混合系统时： 对于给定的本征态un、um，如果所有的值 是等几率的，而且当位相为 与 时，矢量的模 的数值分布是相同的，则 对系综的平均值为零，此时密度矩阵的非对角元 也就是说,若每一个系统的幅角是随机分布的，则N个系统组成的系综的?nm=0。假若N